Приклад 1. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл
.
Зробимо заміну змінної , тоді , , тому
. (13.1)
Функція обмежена, а функції та монотонно прямують до нуля при , отже обидва інтеграли в (13.1) збіжні за ознакою Діріхле, отже інтеграл збіжний. Покажемо, що інтеграл , де , розбіжний. Дійсно, при ; .
Розглянемо інтеграл . Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтеграл розбіжний. Тоді за теоремою 2 інтеграл розбіжний, отже інтеграл збігається умовно.
Приклад 2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл Френеля:
.
Маємо: , де , . Інтеграл – звичайний власний інтеграл Рімана, тому питання про збіжність інтеграла рівносильне питанню про збіжність інтеграла . В інтегралі зробимо заміну: . Тоді , , отже
.
Звідси видно, що цей інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція обмежена, а функція монотонно прямує до нуля при ). Покажемо, що він збіжний умовно. Дійсно, оскільки , а інтеграл розбіжний (див. п. 11, приклад 1), то розбіжним є інтеграл , отже інтеграл збіжний умовно, а тоді збіжний умовно й інтеграл .
Аналогічні висновки стосуються й другого інтеграла Френеля .
Приклад 3. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл
.
Пригадаємо (п. 10, приклад 5), що інтеграл
збігається при та при , і розбіжний при всіх інших .
Розглянемо окремо випадки.
1) . Оскільки , а інтеграл збігається, то інтеграл збігається абсолютно.
2) . Також інтеграл збігається абсолютно.
3) . Оскільки , і функція обме-
жена, то інтеграл збігається за ознакою Діріхле. Розглянемо:
.
Перший з цих інтегралів розбіжний (обчислюється безпосередньо), а другий збіжний (за ознакою Діріхле). Таким чином інтеграл розбіжний, отже інтеграл збігається умовно.
4) . Оскільки , і функція об-
межена, то інтеграл збіжний за ознакою Діріхле. Розглянемо:
.
Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний (за ознакою Діріхле), отже інтеграл збіжний умовно.
5) . Інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція моно-
тонно прямує до нуля при , функція обмежена).
Розглянемо:
.
Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтеграл збіжний умовно.
6) . У цьому випадку отримуємо інтеграл , який, оче-
видно, розбіжний.
7) . Позначивши , запишемо у вигляді:
.
Доведемо наступний результат. Нехай функція неперервна та додатна на , . Тоді інтеграл розбіжний.
Скористаємось критерієм Коші. Покажемо, що існує таке, що для будь якого знайдуться такі, що
. (13.2)
Візьмемо для довільного натуральне число так, щоб . Тоді , і покладемо , . Оскільки на відрізку функція не змінює знаку та інтегровна, то на підставі теореми про середнє значення існує таке, що
.
Тоді
.
Оскільки , , то . Отже завжди можна обрати настільки великим, щоб . І тоді рівність (13.2) виконано, тобто згідно критерію Коші інтеграл розбіжний. З цього результату одразу ж випливає розбіжність інтеграла , оскільки функція при неперервна, додатна, і .
8) . Позначивши , запишемо інтеграл у вигляді:
.
Функція при та неперервна, додатна, і . Тому на підставі того ж твердження, інтеграл розбіжний.
Отже остаточно, інтеграл
при збігається абсолютно ;
при збігається абсолютно;
при збігається умовно;
при збігається умовно ;
при збігається умовно;
при розбігається;
при розбігається .
У відомій кінострічці «Зустріч на далекому меридіані» за романом Мітчела Уїлсона два головних персонажа фізики намагаються з’ясувати причини розбіжності у своїх дослідженнях між експериментальними даними і теоретичними результатами. І виявилося, що справа в тому, що вони не дослідили на збіжність один з інтегралів, що там виникало. А він оказався розбіжним, чого вони не врахували і працювали з ним як із збіжним. Ось для чого і фізикам доводиться займатися викладеними вище питаннями.