Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.
Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де .
Означення.Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя
. (8.1)
Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.
Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею. З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).
Рис. 5.
Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :
(8.2)
А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:
, (8.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3) збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.
Приклади.
1. Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?
.
Маємо:
.
Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .
2. Дослідити на збіжність інтеграл
.
Маємо:
.
Відомо, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний.
3. Дослідити на збіжність інтеграл
.
Маємо:
.
Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).
4. .
Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.
5. Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:
.
У випадку маємо:
, тобто інтеграл розбіжний.
Якщо , то
, отже інтеграл збіжний.
Якщо , то
, і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .