За означенням.

Наведемо приклади обчислення визначеного інтеграла, як кажуть, за означенням, тобто як границі інтегральних сум.

Приклад 1. Обчислити:

.

Розіб’ємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму:

.

Незалежно від обрання точок буде виконано: , тому:

.

І отже:

.

Приклад 2. Обчислити:

.

Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку . Розіб’ємо відрізок на рівних частинних відрізків точками ділення , де . Очевидно, що , , . За точки візьмемо . Складемо інтегральну суму:

.

Тут ми скористалися формулою:

.

Тоді

.

Отже

.

Приклад 3. Обчислити:

.

Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку . Розіб’ємо відрізок на рівних частинних відрізків точками ділення , де . Очевидно, що , , . Таким чином у даному випадку умова (або ) еквівалентна умові . За точки візьмемо . Складемо інтегральну суму:

.

Тут скористалися формулами:

, , .

З урахуванням рівності тепер маємо:

.

Звідси

.

Отже

.

Вже ці приклади показують, що обчислення інтегралів за означенням досить складна задача, навіть для відносно простих функцій. Тому таким методом користуються рідко. Нижче ми наведемо формулу, за якою інтеграл обчислюється набагато простіше. Щоправда, ця формула виводиться у припущенні, що функція неперервна на відрізку .