Лекция 14

Қисықтар мен беттерді интерполяциялау және аппроксимациялау.

Алдымен бірнеше анықтамаларға тоқталайық.

Сплайн – тегістіктің қандайда бір критерияларын қанағаттандыратын қисық.

Негізгі (тірек) нүктелер (Базовые (опорные) точки) – қисықтарды салу кезінде орындалатын нүктелер жиынтығы.

Интерполяция - негізгі нүктелер жиынтығы арқылы дәл өтетін қисықтарды тұрғызу.

Аппроксимация- жақындау, яғни негізгі нүктелер жиынтығы арқылы өтпейтін, ал оған жақын қисықты тұрғызу.

Экстрополяция-берілген негізгі нүктелер жиынтығының интервал шегіндегі сызықты салу.

Қарапайым жағдайда интерполяция түзу сызықтарды кесінділерді негізгі нүктелерді қосу жолымен жүзеге асырылады. (9.1-сурет), бұл әдіс сызықтық интерполяция деп аталады.

Тегістіктің критериясы – бұл қисықты сипаттайтын функцияның туындысының бар болуы болып табылады. Әдетте функцияның бірінші немесе екінші ретті туындысы бар болса, онда функция жеткілікті тегіс деп есептелінеді. Полином деп функциясының түрін айтамыз. (9.1) формулада полиномның коэффициенттері белгісіздер болып табылады.

у   х   9.1-сурет

Мысалы, егер нүктелер жиынтығы үшеу болса, онда полиномның дәрежесі n=2, ал коэффициентін төмендегі теңдеулер жүйесінен алуға болады:

Сондықтан нүктенің координаталарыжиынтықта екі рет қайталанбауы керек, әйтпесе жүйенің шешімі болмайды. Мұндай әдістің кемшілігі (барлық негізгі нүктелердің жиынтығы бір функциямен өрнектелетін кезде)

· жоғары дәрежедегі полиномдардың негізгі нүктелері аралығығндағы графигі қатты «толқындалып» кетеді.

· полиномның базалық нүктелері интервал сыртында шексіз өсіп немесе кеміп кетеді.

· Неғұрлым жиында нүкте көп болса (полиномның дәрежесі жоғары), соғұрлым коэффициентті табу үшін теңдеулер көп болады. Қисық сызықтарды құру кезінде осындай қиыншылықтардан құтылу үшін жеке бөліктерден (сегмент) құрама қисықтарды қалыптастыру пайдаланылады.

Тегістіктің екінші ретті құрама қисығын кәдімгі үшінші дәрежелі полиномдардың доғаыснан жасауға болады. Мұндай полиномның коэффициенттерін есептеу үшін 4 негізгі нүкте керек. Осылайша құрама қисықтың әрбір сегменті 4 нүктенің негізінде құралады.

Мысалы, 1- сегмент (9.2-сурет) 0, 1, 2, 3 нүктелердің негізінде салынады, ал 2- сегмент 1, 2, 3, 4 нүктелердің негізінде салынады және т.с.с.

Жоғарыда айтылғандай негізгі нүктелердің координаталары у_і(х_і) түрінде берілген және олардың абсциссалары өсу ретімен орналасқан. Мысалы (9.3-сурет) түрлі нүктелер жиынтығының абсциссалары сәйкес келеді

у *4 * 0 *сегмент 1 2* *3   сегмент2   х 11.2-сурет Құрама сплайнды қисық

у *4 1 * 0* 2 * 3 *   х 11.3-сурет Недопустимый набор точек

Бақылау сұрақтары.

1. Сплайн –дегеніміз қандай қисық?
2. Интерполяция - дегеніміз не?
3. Аппроксимация- дегенімз не?
4. Экстрополяция – дегеніміз не?