Нехай дано трикутник з вершинами у точках і Знайдемо площу трикутника АВС . Розглянемо два вектори і , що збігаються із сторонами трикутника АВС (рис. 3.4). Модуль векторного добутку , згідно з означенням,
Рис. 5.4.
дорівнює площі паралелограма Тоді площа трикутника : . Знайдемо вектори і :
.
Тоді площа трикутнику
Розглянемо вектор , який дорівнює добутку векторів і
Проекція вектора на координатній осі будуть
, а довжина
Тоді площа трикутника можна записати у вигляді
.
Розглянемо окремий випадок, коли трикутник лежить в одній з координатних площин, наприклад у площині При цьому а проекції вектора дорівнюють відповідно
Площа трикутника, який лежить у площині з вершинами в точках
і дорівнює
Визначник другого порядку в останній формулі можна записати у вигляді визначника третього порядку:
Тоді площа трикутника може бути виражена формулою: .
Аналогічно можна записати формули площ трикутників, які лежать у координатних площинах і .
◄Приклад 5.5. Знайти площу трикутника, вершини якого розміщено в точках , і .
Розв’зання. Маємо
тоді
(кв. од.).
Відповідь:
◄Приклад 5.6. Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і за умови, що , , а кут .
Розв’язання:
. Тому
.
Відповідь: (од. кв.)