1. Базилевич В. Д, БшастрикЛ. О. Макроекономіка. - К, Четверта хвиля 1997
2. Оговськй С та /я Мікроекоі і роекономіка. К.: Основи 1998
3. Мікроекономіка і макроекономіка. - К.: Основи 1998 М " Ф МаУ
4. Т993 5. Дзюбик С. Д. Антиінфляційна політика. — К • Вид-во УАДУ 1996 6' 1994" ЛиндсейДК МаіФномика. - СПб: СПб-оркестр: Литера
5. Дорнбуш Р., Фішер С. Макроекономіка. — К.: Основи, 1996
6. Кейнс Дж. Общая теория занятости, процента и денег — М 1978
7. МакконеллК., Брю С. Зкономикс. — М 1992
8. Макроекономіка: Підручник / За ред. А.Г.Савченко. - К.: Либідь 1995
9. Мзнкью Н. Г. Макрозкономика: Пер. с англ. — М.: Изд-во МГУ 1994
10. Афонова І. Макроекономіка та економічна політика: Підручник. - К: Таксон,
11. СаксД Ларрен Ф Макроэкономика. Глобальний подход — М • Дело 1996
12. Семюелсон П., Нордгауз В. Макроекономіка. — К.: Основи, 1997.
Основні поняття теорії множин
1.1 Відношення приналежності та включення
Множина – одне з первинних понять у математиці. Будь-яке визначення в дискретній математиці можна вивести за допомогою поняття множини. Під множиною слід розуміти об'єднання в одне ціле об'єктів, що добре розрізнюються інтуїцією або думкою. Термін ”множина” має синоніми – ”сукупність”, “набір”. Об'єкти, які утворюють множину, називаються його елементами. Як правило, множину утворюють елементи однієї природи. Наприклад, числа (натуральні, цілі, дійсні), букви латинського алфавіту.
Відношення приналежності. Приналежність об'єкта 
множині 
позначається за допомогою символу 
: 
.
Відношення включення. Говорять, що множина 
є підмножиною множини 
, якщо кожний елемент є елементом , тобто належить 
(виконується поелементна приналежність):
,
при цьому – підмножина множини ; – надмножина множини 
(рис. 1.1, а).
Відношення строгого включення не припускає співпадання множин й позначається символом 
: 
(див. рис. 1.1, а).
Множини рівні 
, якщо вони складаються з тих самих елементів. Якщо й 
( 
), то (рис. 1.1, б).
а б
Рис. 1.1. Відношення включення
Таким чином, відношення приналежності встановлює зв'язок між множиною і його елементами, а відношення включення – між двома множинами. Нестроге включення допускає рівність двох множин.
Приклад 1.1.Дано множина 
(рис. 1.2). Які з наступних тверджень вірні?
Рис. 1.2 Структура множини А із приклада 1.1
Розв’язок: 
– вірно, тому що в множині є елемент 2;
– вірно, тому що в множині є елементи 1, 2, тобто 
, ;
– вірно, тому що в множині є елемент 3, тобто 
;
– вірно, тому що в множині є елемент {3};
– не вірно, оскільки в множині немає елемента 4;
– вірно, тому що в множині є елемент 
;
– не вірно, оскільки в множині немає елемента 4, тобто 
.
1.2 Способи завдання множин
Множину можна задати декількома способами, а саме:
1) перерахуванням елементів: 
, 
;
2) використанням характеристичної властивості:
M={x | x, що мають властивість Q} або 
;
; 
;
3) за допомогою процедури, що породжує (породжувальна процедура - операції над множинами) 
;
4) графічно за допомогою діаграм Ейлера (рис. 1.3):
Рис. 1.3 Діаграма Ейлера для ілюстрації множини 
Визначення 1.1. Булеан 
множини – є множина всіх підмножин множини 
, при цьому називається універсумом (універсальною множиною або простором) і часто позначається 
.
Визначення 1.2. Потужність множини (кардинальне число) – кількість елементів множини. Потужність множини позначається 
або 
. Потужність булеана визначається формулою:
(1.1)
Кінцева множина містить кінцеве число елементів.
Порожня множина 
не містить жодного елемента, його потужність дорівнює нулю: 
.
Приклад 1.2.Дано: множина 
. Знайти: 
.
Розв’язок. Потужність множини визначається кількістю елементів: 
. Потужність булеана множини А обчислюється за формулою (1.1): 
. Булеан множини містить порожню множину – ; всі одноелементні підмножини множини – 
, 
, 
; всі двоелементні підмножини множини – 
, 
, 
; трьохелементну підмножину, що співпадає із самою множиною – 
:
.
Таким чином, булеан множини А складається з порожньої множини, трьох одноелементних підмножин множини А, трьох двоелементних підмножин множини А та самої множини А.
Визначення 1.3. Множина А називається власною підмножиною множини В, якщо А є підмножиною множини В, а В не є підмножиною множини A.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.Універсум Uабо універсальну множинуможна розглядати як надмножину всіх множин: 
.
Універсум – поняття відносне. Якщо мова йде про множину чисел в арифметиці, множина R дійсних чисел розглядається як універсум U. Якщо мова йде про вузівський захід, то U краще вибрати як множину студентів даного вузу, а не людей міста або країни.
У прикладі 1.2 універсумом є множина А як надмножина всіх множин булеана. Порожня множина і сама множина є невласними, інші множини – елементи булеана – власні.
1.3 Алгебра множин Кантора
Визначення 1.4. Алгебра А є сукупність носія N і сигнатури S: 
. Сигнатура задає набір операцій над елементами з носія, які діють за певними правилами.
Множини у сукупності з операціями об'єднання 
, перетинання 
й доповнення – або 
утворюють алгебру множин Кантора 
. Порядок операцій: 1) –; 2) ; 3) . Дані операції утворюють базис в алгебрі множин Кантора. Інші операції (різниця \ і симетрична різниця 
) можуть бути виражені через базисні.
Операції над множинами вводяться за наступними правилами:
1. Перетинання складається із всіх елементів 
, які належать одночасно двом множинам і (рис. 1.4, а):
. (1.2)
2. Об'єднання складається із всіх елементів , які належать множині або множині (рис. 1.4, б):
. (1.3)
3. Доповнення визначається через теоретико-множинну різницю (рис. 1.4, в):
. (1.4)
4. Вирахування 
(теоретико-множинна різниця, рис. 1.4, г) складається із всіх елементів 
, які належать зменшуваній множині , але не належать віднімаємій множині
. (1.5)
Зв’язок з базисними операціями перетинання й різниці встановлюється за формулою:
. (1.6)
5. Симетрична різниця 
(рис. 1.4, д):
. (1.7)
Для симетричної різниці мають місце формули, що встановлюють зв’язок з базисними операціями:
(1.8)
Діаграма Ейлера для симетричної різниці зображено на рис. 1.4,д).
Рис. 1.4. Ілюстрація результатів теоретико-множинних операцій на діаграмах Ейлера
1.4 Закони й тотожності алгебри множин
1. Комутативність:
, 
. (1.9)
2. Асоціативність:
, 
. (1.10)
3. Дистрибутивність (розподільний закон):
, 
. (1.11)
4. Ідемпотентність (повторення, тавтологія):
. (1.12)
5. Операції з константами (як константи виступають порожня й універсальна множини):
, 
, 
, 
. (1.13)
6. Закон виключеного третього:
. (1.14)
7. Закон протиріччя:
. (1.15)
8. Інволюція:
. (1.16)
9. Закон Де Моргана:
, 
. (1.17)
10. Елімінація (поглинання):
, 
. (1.18)
11. Склеювання:
, 
. (1.19)
12. Закони Порецького:
, 
. (1.20)
Для об'єднання й перетинання множин справедливі наступні формули обчислення потужності:
, 
. (1.21)
Порожня й універсальна множини вводяться для замкнутості теоретико-множинних операцій. Це означає, що результат застосування цих операцій є елемент тієї ж природи, що й об'єкти з носія. Таким чином, алгебра множин Кантора замкнута щодо уведених операцій.
1.5 Контрольні питання
1. Як визначається множина?
2.Чи можуть повторюватися елементи множини?
3.Які існують способи завдання множин?
4. Чому дорівнює потужність множини?
5. Чим характеризується невласна підмножина?
6.Яка множина є власною?
7. Чи є множина невласною підмножиною самого себе?
8. Коли дві множини є рівними?
9. Які теоретико-множинні операції є базисними?
10. Як визначається пріоритет операцій алгебри Кантора?
11. Чи є поняття потужності множини і його кардинального числа ідентичними?
12. Як формулюються закони й тотожності алгебри множин?
13. Як ілюструються теоретико-множинні операції за допомогою діаграм Ейлера?
14. Яка множина називається булеаном?
15. Яка формула використовується для обчислення потужності булеана?
2 Відповідності. Функції. Відображення
2.1 Поняття впорядкованої пари й вектора
Під вектором (кортежем) слід розуміти впорядкований набір елементів 
, де 
– координати або компоненти вектора.
Розмірність (довжина вектора) визначається кількістю його координат.
Два вектори (кортежі) 
однакової розмірності рівні, якщо їхні відповідні компоненти рівні, тобто виконується покоординатна рівність:
.
Під упорядкованою парою 
слід розуміти вектори розмірності два, тобто упорядкована пара – двоелементна упорядкована множина. Упорядкована пара є одним з первинних понять у теорії множин.
Визначення 2.1. Проекцією вектора 
на i-у вісь називається його i-й компонент (i-а координата): 
.
Визначення 2.2. Нехай 
– множина векторів однакової довжини, тоді проекцією множини на i-у вісь називається сукупність проекцій всіх векторів з V на на i-у вісь: 
.
Приклад 2.1.Координати точки площини утворюють упорядковану пару: 
. Вони вказуються у фіксованому порядку: на першій позиції – абсциса 
, на другій – ордината 
, які є проекціями на першу й другу осі відповідно (рис. 2.1): 
, 
.
Рис. 2.1. Проекції точки площини на осі
Видно, що упорядковані пари й 
різні: 
.
Приклад 2.2. Розглядається множина 
векторів розмірності три (тривимірні вектори): 
. Потрібно знайти проекції множини на осі.
Розв’язок. Проекція на першу вісь визначається як сукупність координат, що займають перші позиції у векторах з множини : 
. Аналогічно визначаються проекції на другу й третю осі. Оскільки елементи множини не повторюються, однакові координати, що розташовуються на тих самих позиціях у різних векторах, ураховуються один раз: 
, 
.
2.2 Декартів (прямий) добуток множин
Поряд з операціями (1.2)-(1.8) впроваджується операція декартова (прямого) добутку множин.
Визначення 2.3. Прямий (декартів) добуток двох множин A і B є множина всіх пар 
таких, що 
, 
:
. (2.1)
Приклад 2.3.Дано множини 
, 
. Складемо їх декартово добуток за правилом (2.1): 
.
Приклад 2.4. Декартів добуток 
множин 
, 
є множина, що містить позначення всіх 64 кліток шахівниці.
Приклад 2.5. Координатне подання точок площини, що ввів Рене Декарт – французький математик і філософ, – є історично першим прикладом прямого добутку. Множина точок площини 
, тобто множина пар виду 
, 
: 
.
Декартів добуток множин не є комутативним: 
.
Визначення 2.4. Якщо , тобто 
– декартів квадрат.
Визначення 2.5. Прямий добуток n множин є сукупність всіх векторів 
довжини 
таких, що 
, 
, ... , 
, тобто
, (2.2)
Ототожнивши множини в декартовому добутку (2.3), одержимо декартову ступінь множини.
Визначення 2.6. Декартів добуток n однакових множин є декартова ступінь:
. (2.3)
Декартова ступінь множини поряд з іншими n-мірними векторами містить вектори, що складаються з однакових координат, тобто -мірні вектори виду 
. Кількість таких векторів визначається потужністю множини й дорівнює n.
Потужність декартова добутку визначається як добуток потужностей множин, що входять у нього.
Нехай 
– кінцеві множини, потужності яких відповідно дорівнюють 
. Тоді потужність декартова добутку множин дорівнює добутку потужностей цих множин:
. (2.4)
З формули (2.4) випливає, що потужність декартова ступеня 
визначається як ступінь потужності множини :
. (2.5)
2.3 Відповідності
Визначення 2.7. Відповідністю 
між множинами і називається підмножина декартового добутку двох множин 
: 
.
Запис 
означає, що елемент відповідає елементу 
в змісті , і впорядкована пара 
належить множині : 
.
При цьому називають областю визначення (множиною відправлення) відповідності : 
; – областю значень (множиною прибуття) відповідності : 
.
Визначення 2.8. Множина всіх елементів 
, що відповідають елементу 
, називається образом елемента в множині при відповідності .
