Виплати в момент смерті

До цього часу припускалось, що застрахована сума виплачується наприкінці року смерті. Це припущення не відображає практику страхування, але має ту перевагу, що формули можуть бути отримані безпосередньо за таблицею смертності.

Припустимо тепер, що застрахована сума виплачується в момент смерті . Поточне значення виплати 1 відразу в момент смерті обчислюється

(3.1)

Чиста одиночна премія позначається . З використанням формули (2.2) теми 2 ми знаходимо, що

. (3.2)

Корисну апроксимацію можна отримати, використовуючи ситуацію А розділу 6 теми 2. Записавши

, (3.3)

і вважаючи і незалежними випадковими змінними, а змінну рівномірно розподіленою, з рівності

(3.4)

отримуємо

. (3.5)

Таким чином, обчислення зводиться до обчислення .

Подібні формули можна отримати для термінового страхування. Для страхування на дожиття множник використовується тільки в доданку, який відповідає терміновому страхуванню:

. (3.6)

На кінець, припускаючи, що застрахована сума виплачується наприкінці -ої частини року смерті, тобто в момент в позначеннях розділу 4 теми 2. Поточне значення безтермінового страхування одиничної суми обчислюється

. (3.7)

При підрахунку чистої одиночної премії ми знову використовуємо ситуацію А розділу 6 теми 2. Ми записуємо

(3.8)

в рівності (3.7) і, припускаючи незалежність і , маємо

. (3.9)

Звідси остаточно

. (3.10)

Рівність (3.5) може бути отримана з (3.10) граничним переходом .