Дожиття

Нехай застрахована сума виплачується наприкінці року смерті, якщо вона відбудеться протягом перших років, і наприкінці -го року в протилежному випадку:

. (2.12)

Чиста одиночна премія позначається через . Позначивши поточне значення з (2.6) через , а з (2.9) – через , маємо

. (2.13)

Як наслідок, отримаємо

(2.14)

і

. (2.15)

Добуток завжди дорівнює нулю, тому

. (2.16)

Отже, варіація дорівнює

. (2.17)

З останньої рівності випливає, що ризик при продажу контракту на дожиття, що вимірюється варіацією, менший ризику, який приймається страхувальником при продажі термінового контракту одній людині і контракту на чисте дожиття іншій.

До цього часу, для спрощення, ми припускали, що застрахована сума дорівнює 1. Якщо насправді вона дорівнює , тоді чиста одиночна премія може бути отримана множенням на , а варіація – множенням на .

Розглянемо на закінчення відкладене на років безтермінове страхування. Його поточне значення дорівнює

. (2.18)

Чиста одиночна премія позначається через . Інші представлення премії мають вид

, (2.19)

. (2.20)

Другий момент знову дорівнює чистій одиночній премії при подвоєній відсотковій ставці.