Деление чисел в количественной теории. Правила деления. Частные случаи деления

Пусть а=п(А) и мн.А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Если в- число элементов каждого подмн.в разбиении мн.А, то частным чисел а и в называется число подмножеств в этом разбиении. Если в- число подмн.в разбиении мн.А, то частным чисел а и в называется число элементов каждого подм. Действие нахождения частного называется делением, числа а и в называют соответственно делимым и делителем (проверяется правильность выполнения деления умножением). Частным нат.чисел а и в называется нат.число с, произведение которого и числа в равно а, т.е.а:в=с<=>а=с*в. П: 189:3=63, т.к.63*3=189. Теорема 1: для того чтобы частное двух нат.чисел а и в существовало, необходимо, чтобы в≤а. Док-во: пусть частное нат.чисел а и в существует. Это значит, что существует такое нат.число с, что а=с*в. Для нат.числа с верно утверждение 1≤с. Умножим обе части этого неравенства на в, получим в≤с*в или в≤а. Теорема 2: если частное нат.чисел а и в существует, то оно единственно. Док-во (методом от противного): предположим, что существуют два различных значения частного: а:в=с1 и а:в=с2, причём с1≠с2. Тогда по определению частного имеем: а=с1*в и а=с2*в. Отсюда с1*в=с2*в, тогда по св-ву сократимости умножения получим с1=с2. Последнее равенство противоречит предположению о том, что с1≠с2. Противоречие доказывает теорему. Частные случаи: 1.Пусть а≠0, в=0. Деление числа а на ) невозможно,т.к.не существует такого числа с, что 0*с=а≠0. 2.Пусть а=0 и в=0. Частное вида 0:0 не определено,т.к.0:0=с1 и 0:0=с2. Проверка показывает, что в каждом случае деление выполнено верно, поскольку с1*0=0 и с2*0=0. Правила деления: правило деления суммы на число- чтобы разделить сумму а и в на число с, достаточно разделить каждое слагаемое на это число с и полученные частные сложить,т.е. (а+в):с= а:с+в:с, если а⋮с и в⋮с. Док-во: так как а⋮с и в⋮с, то существуют такие нат.числа м и п, что м=а:с и п=в:с. По определению частного а=с*м и в=с*п. Тогда а+в=с*м+с*п= с*(м+п). Отсюда следует, что а+в делится на с и частное (а+в):с=м+п=а:с+в:с; правило деления числа на произведение: чтобы разделить число а на произведение чисел в и с, достаточно разделить число а на в(на с) и полученное частное разделить на с (на в),т.е. а:(в*с)= (а:в):с= (а:с):в. Док-во: пусть (а:в):с=х. По определению частного имеем а:в=с*х. Применив ещё раз определение частного, получим: а=в*(с*х)= (в*с)*х. Отсюда х=а:(вс). Таким образом, а:(вс)= (а:в):с; правило умножения числа на частное: чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на частное, т.е. а*(в:с)= (а*в):с.

Признаки делимости на 2,3,4,5,9,11.

Признаки делимости позволяют установить по записи чис¬ла делится ли оно на другое, не выполняя деления. Признак делимости на 2. Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. П: 301924 делится на 2, т.к.заканчивается цифрой 4. Признак делимости на 3.Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3. П: 30192 делится на 3, т.к.сумма цифр этого числа 3+1+9+2=15 делится на 3. Признак делимости на 4. Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х. П: 301924 делится на 4, т.к.последние две цифры образуют двузначное число 24, которое делится на 4. Признак делимости на 5. Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5. П: 301925 делится на 5, т.к.заканчивается цифрой 5. Признак делимости на 9. Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сум¬ма цифр его десятичной записи делилось на 9. П: 19242 делится на 9, т.к.сумма его цифр 1+9+2+4+2=18 делится на 9. Признак делимости на 11.Число делится на 11, тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр на чётных местах и суммой цифр на нечетных местах делится на 11. П: 301928 делится на 11, т.к.разность между суммами цифр, стоящих на нечётных местах, и цифр, стоящих на чётных местах, составляет: (8+9+0)- (3+1+2)= 17-6=11, что делится на 11.

Простые и составные числа. Свойства простых чисел.

Натуральное число а, большее единицы, называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само число а. Нат.число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей. Число 7- простое, т.к.делится на 1 и на 7; 4- составное, т.к.делится на 1,2 и 4. 1- ни простое, ни составное число, т.к.имеет только один делитель. Число 0 также имеет более двух делителей, но его не считают составным числом, т.к.кол-во делителей у него бесконечное. Cв-ва простых чисел: Теорема 1: всякое нат.число, больше 1, имеет простой делитель. Док-во (методом от противного): пусть d- наименьший, не равный единице нат.делитель числа а. Требуется доказать, что d- простое число. Предположим, что d- составное число. Тогда d t, следовательно, t d. Надо доказать, что t=1. По св-ву транзитивности отношения делимости имеем: а d и d t a t. Т.к.число t натуральное, то t 1. Если t 1, то t d противоречит тому, что d- наименьший делитель числа а. Если t=1, то это значит, что d- простое число. Теорема 2: наименьший простой делитель составного числа а не превосходит . Док-во: пусть а- составное число, а р- его наименьший простой делитель, тогда а=рв. При этом р в. Умножим обе части неравенства на р. Получим р² рв или р² а, это значит, р . Из этой теоремы следует, что если число а не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то у него нет простых множителей, меньших этого числа, а значит, число а простое. П: покажем, что число 127 простое. Найдём корень квадратный из данного числа: 11 12. Мн.простых чисел, меньших 12, состоит из чисел 2,3,5,7,11. Т.к. 127 не делится ни на одно из этих простых чисел, то 127 само яв-ся простым числом.

Теорема о бесконечности мн.простых чисел. Решето Эратосфена. Теорема Евклида

мн.простых чисел бесконечное. Док-во: предположим, что мн.простых чисел конечное, пусть это будут числа р₁, р₂, р₃, …, р_п. Образуем произведение этих простых чисел и прибавим к нему единицу. Получим число а=р₁ р₂ р₃ … р_п+1. Число а яв-ся либо простым, либо составным. Но простым это число быть не может, т.к.оно больше любого из простых чисел р₁, р₂, р_3, …, р_п, а по предположению других простых чисел, кроме них, нет. Если бы а было составным числом, оно должно было бы иметь хотя бы один простой множитель, которым должно быть одно из чисел р₁, р₂, р₃, …, р_п. Но число а не делится ни на р₁, ни на р_2, ни на р₃, …, ни на р_п (при делении на любое из этих чисел всегда получается остаток 1). Значит, число а не составное. Противоречие показывает, что сделанное предположение неверное. Значит, множество простых чисел бесконечное. Метод Эратосфена (способ составления таблицы простых чисел, заключается в отсеивании составных чисел при последовательном вычеркивании чисел, делящихся на 2,3,5.): 1.Сначала выписывают все нат.числа от 2 до п. После этого вычёркиваются все числа, кратные 2, кроме числа 2 (вычёркивается каждое второе число, кроме 2). Пусть п=40. 2, 3,4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40. 2.Затем вычеркивают все числа, кратные 3, кроме 3 (каждое третье число, кроме 3). Оставшиеся числа не делятся ни на 2, ни на 3. 3.На следующем этапе вычёркивают числа, кратные 5. В результате останутся числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, кроме чисел 2, 3, 5. Если п=40, то 6 7. После того как вычеркнули числа, кратные 2, 3 и 5 (простые числа, меньше 7), в множестве остались только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Измерение отрезков. Понятие о рациональной дроби. Свойства дробей.

Понятие дроби можно ввести на примере измерения длины отрезка. Пусть требуется измерить отрезок а с помощью отрезка е. Если отрезок е укладывается в отрезке а целое число (м) раз, то длина отрезка а=ме. Если же отрезок а несоизмерим с единичным отрезком е, то поступим следующим образом. Разделив единичный отрезок е на п равных частей, т.е.е=пе₁. Пусть п-ая часть отрезка е поместилась в измеряемом отрезке м раз. Тогда длина отрезка а=ме₁ или а= Символ называют обыкновенной дробью, где м,п- нат.числа. Число п называют знаменателем дроби. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили единичный элемент. Число м называют числителем дроби. Числитель показывает, сколько таких частей взяли. Две дроби и называются равными, если выполняется условие: м=р и п=q. Две дроби и называются эквивалентными, если мq=np, т.е. mq=np. П: проверим, эквивалентны ли дроби и . Дроби и не эквивалентны, т.к.произведение 19∙27 23∙25. Теорема (основное свойство дроби): если числитель и знаменатель некоторой дроби умножить или разделить на одно и то же число не равное 0, то получим дробь эквивалентную данной. Док-во: умножим числитель и знаменатель дроби на нат.число к, получим дробь . Покажем, что дроби и эквивалентны. Найдём произведения м∙(пк) и п∙(мк). На основании ассоциативности умножения нат.чисел имеем: м∙(пк)=(мп) ∙к и п∙(мк)=(пм) ∙к= (мп) ∙к. Т.к.правые части равенств совпадают, то равны и левые части, т.е.дроби и эквивалентны. Покажем, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, не равное 0, также получаются эквивалентные дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на нат.число с, получим дробь . Покажем, что дроби и эквивалентны. Найдём произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и знаменателя первой дроби на числитель второй: м∙(п:с) и п∙(м:с). Согласно правилу умножения числа на частное будем иметь: м∙(п:с)= (м∙п):с и п∙(м:с)= (п∙м):с. Произведения равны, следовательно, дроби и эквивалентны. Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число применяют при сложении и вычитании дробей, приводя их к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей эквивалентными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно: 1)найти НОК знаменателей данных дробей; 2)вычислить дополнительные множители, разделив НОК на каждый знаменатель; 3)умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Умножение и деление рациональных чисел. Законы сложения.

Произведением рациональных чисел и называется рациональное число . Произведение рациональных чисел всегда существует и единственно. Теорема: Операция умножения рациональных чисел обладает коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным свойствами, т.е.

1.( a,b Q) a =b a коммутативность умножение ; 2.( a,b,c Q)(a b) c = a (b c) ассоциативность умножение ; 3.( b,c Q)(a+b) c=a с дистрибутивность умножения . Законы: переместительный, сочетательный и распределительный. Частным рациональных чисел и называется рациональное число такое, что = . Это значит, что : = = . Найдём значение дроби . По определению произведения дробей имеем: = , т.е. = , отсюда (рх) п= (qy) m. На основании коммутативности и ассоциативности умножения целых чисел будем иметь: х (рп)= у (qm). Отсюда получим: = или = = . Тогда деление дробей можно заменить умножением: = . Дробь называется обратной дроби , если =1. Теорема: частное рациональных чисел и (р 0) всегда существует и единственное. Справедливость этой теоремы вытекает из того, что р п 0, а mq- произведение целых чисел, которое всегда существует. Решение задач на части: 1)нахождение части от целого числа. Чтобы найти от числа а, достаточно, число а умножить на , т.е.а = а:п м. 2)нахождение целого числа по известной его части. Если некоторого числа равны а, то, чтобы найти это число, достаточно а разделить на , т.е.а: = (а:м) п.

Приближённые значения положительного действительного числа. Сумма и разность положительных действительных чисел.

Приближённым значением положительного действительного числа по недостатку с точностью до 1/10^п называют число, которое получается из данного числа, если отбросить все цифры, стоящие после п-го десятичного знака. Чтобы получить приближённое значение этого числа по избытку с точностью до 1/10^п, надо увеличить на 1 последнюю цифру его приближённого значения по недостатку. Число х можно записать следующим образом: а₀+а₁/10+а₂/10²+…+ а_п/10^п х а₀+а₁/10+а₂/10²+…+ а_п+1/10^п, или а₀,а₁а₂…а_п х а₀,а₁а₂…(а+1) или х_п х х_п^’, где х_п- приближённое значение числа х по недостатку с точностью до 1/10^п; х_п^’- прібліжённое значеніе чісла х по ізбытку с точностью до 1/10^п. П: найдём прібліжённые значенія чісла =2,64575… по недостатку і по ізбытку с точностью до 0,1; 0,01; 0,001. 2,6 2,7 с точностью до 0,1; 2,64 2,65 с точностью до 0,01; 2,645 2,646 с точностью до 0,001. Пусть дана два положительных действительных числа х и у: х=а₀,а₁а₂…а_п… и у=в₀,в₁в₂…в_п….При любом п будем иметь неравенства: х_п х х_п^’, у_п у у_п^’. Суммойполож.действ.числа х и у называют число х+у, удовлетворяющее условию: х_п+у_п х+у х_п^’+у_п^’, где х_п и у_п- десятичные приближённые значения этих чисел по недостатку, а х_п^’ и у_п^’- десятичные приближённые значения этих чисел по избытку. П: найдём сумму +0,(6) с точностью до 0,001. =2,645751…, 0,(6)=0,666666… Запишем данные числа с помощью приближённых значений по недостатку и по избытку с точностью до 0,0001 (для промежуточных вычислений берётся одна “запасная цифра”).

2,6457 2,6458

0,6666 0,(6) 0,6667

__________________________

3,3123 +0,(6) 3,3125.

Значение суммы +0,(6) с точностью до 0,001 будет: 3,312 +0,(6) 3,313.

Операция сложения в мн.R₊ полож.действ.чисел обладает св-ми коммутативности- ( х,у R₊)х+у= у+х и ассоциативности- ( х,у,z R₊) (х+у)+ z= х+(у+z). Разностью полож.действит.чисел х и у (х у) называют действительное число z такое, что z+у=х, т.е.х-у= z z+у=х. Если задать числа х и у своими приближёнными значениями, то будем иметь: х_п-у_п^’ х-у х_п^’-у_п. Обоснуем это правило. Т.к.х-у=х+(-у), то, выполнив сложение чисел х и –у, получим:

х_п х_п^’

-у_п^’ -у_п

_____________________

х_п-у_п^’ х_п’-у_п

П: найдём разность -0,(6) с точностью до 0,001.

2,6457 2,6458

0,6666 0,(6) 0,6667

________________________

2,6457-0,6667 -0,(6) 2,6458-06666

1,9790 -0,(6) 1,9792.

Значеніе разності -0,(6) с точностью до 0,001 будет: 1,979 -0,(6) 1,980.

Произведение и частное положительных действительных чисел.

Произведением полож.действ.чисел х и у называется число х у, удовлетворяющее неравенству: х_п∙у_п х∙у х_п’∙у_п^’. П: найдём произведение ∙0,(6) с точностью до 0,001.

2,6457 2,6458

0,6666 0,(6) 0,6667

_____________________

1,7636 0,(6) 1,7639

1,763 ∙0,(6) 1,764.

Умножение полож.действ.чисел обладает св-ми коммутативности- ( х,у, R₊)x∙y=y∙x; ассоциативности –( х,у,z R₊)(x∙y) ∙z= x∙(y∙z); и дистрибутивности- ( х,у,z R₊)(x+y) ∙z= x∙z+y∙z. Деление полож.действ.чисел определяется как действие, обратное умножению: а:в=а∙ . Частным полож.действ.чисел х и у называется число х:у, удовлетворяющее неравенству: х_п:у_п^’ х:у х_п^’:у_п. П: найдём частное :0,(6) с точностью до 0,001. Запишем данные числа с помощью их рациональных приближений по недостатку и по избытку, взяв после запятой четыре десятичных знака (с запасной цифрой), и выполним указанное действие.

2,6457 2,6458

0,6666 0,(6) 0,6667

__________________________________

2,6457:0,6667 :0,(6) 2,6458:0,6666

3,9683 0,(6) 3,9690

Значение частного :0,(6) с точностью до 0,001 будет:

3,968 :0,(6) 3,969. В мн.R₊ полож.действ.чисел операция деления яв-ся всегда выполнимой операцией, кроме деления на 0.

Понятие величины. Аксиоматическое определение величины.

Величина- это такое св-во предметов или явлений, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим св-ом в большей (меньшей) или в равной мере. П: длина, площадь, объём, температура, маса- св-ва предметов. Время, скорость, ускорение- св-ва явлений. Величины бывают скалярными и векторными. Величины, которые полностью определяются числовым значением, называются скалярными (длина, площадь, маса, температура, объём, время). Векторные величины хар-ся числовым значением и направлением (скорость, ускорение).Некоторые величины обладают свойством аддитивности- если предмет или явление могут состоять из частей, то величина целого складывается из величин отдельных частей, причём складываются только величины одного рода. Аксиоматическое определение величины:пусть М- мн.тех предметов или явлений, которые обладают св-ом А, и пусть для некоторых элементов мн.М определена операция сложения. Пусть во мн.М выбран элемент е , называемый единицей измерения, и определено отношение эквивалентности а . Св-во А называется аддитивно-скалярной величиной, если существует отображение между мн.М и мн.полож.действ.чисел R₊, которое удовлетворяет следующим условиям: 1.ʄ(е)=1. 2.если а и в- элементы мн.М, эквивалентные относительно св-ва А, то ʄ(а)=ʄ(в). 3.если во мн.М элементы а и в допускают сложение, т.е.а+в=с, то ʄ(а)+ʄ(в)=ʄ(с). 4.если во мн.М определены два отображения ʄ₁ и ʄ₂, которые удовлетворяют условиям 1-3, то существует такое положительное дейст.число k, что ʄ₂(а)=k∙ʄ₁(а). Отображение ʄ называют измерением величины А, положительные действительные числа ʄ(а), ʄ(в), ʄ(с) называются значениями величины А. Из 4 св-ва следуе вывод: пусть в некоторой системе измерения ʄ двум разным элементам а и в мн.М соответствует одно и то действ.число, т.е.ʄ(а)=ʄ(в). Рассмотрим другую систему измерения ʄ₁, в которой элементу а соответствует число ʄ₁(а), а элементу в- число ʄ₁(в). Тогда существует положительное число k, что ʄ₁(а)=k ∙ʄ(а), ʄ₁(в)=k∙ʄ(в). Если обе части равенства ʄ(а)=ʄ(в) умножить на число k, то получим: k∙ʄ(а)=k∙ʄ(в), т.е.ʄ₁(а)=ʄ1(в). Это значит, что если в некоторой системе измерения двум разным элементам а и в соответствует одно и то же число, то им будет соответствовать одно и то же число в любой системе измерения. Такие элементы называют равновеликими.

Измерение величины.

Измерение величин заключается в сравнении данной величины с другой величиной того же рода, принятой за единицу. Пусть дана величина а и выбрана единица величины е. Тогда в результате измерения величины а находят такое положительное действ.число х, что а=х∙е. Число х ₊ называют значением величины а при единице измерения е: х=ʄ(а) или х=m_e(a). П: 9 кг=9∙1кг, 25 см=25∙1см. Такие рассуждения дают возможность обосновать процесс перехода от одной единицы измерения к другой. Пусть от единицы е требуется перейти к единице величины е₁, причём, е=уе₁ и а=хе, где х,у ₊. Тогда а=хе=х∙(уе₁)=(х∙у)е₁. П: 5ч=5∙1ч=5∙60мин= (5∙60)мин= 300 мин. Измерение величин позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а операции над величинами- к операциям над числами. 1.Если величины а и в измерены с помощью одной и той же единицы е, то отношения между ними будут такие же, как и отношения между их числовыми значениями: а=в ʄ(а)=ʄ(в); а ; а . П: если массы двух тел а=5 кг и в=7 кг, то можно утверждать, что масса тела а меньше массы тела в, т.к.5 . 2.Если величины а и в измерены с помощью одной единицы величины е, то, чтобы найти числовое значение суммы а+в, достаточно сложить числовые значения величин а и в: если а+в=с, то ʄ(а+в)= ʄ(а)+ʄ(в). П: если а=20 кг, в=7кг, то а+в=20кг+7кг= (20+7)кг=27кг. 3.Если в=х∙а, где х ₊, то, чтобы найти числовое значение величины в, достаточно число х умножить на числовое значение величины а, т.е.в=х∙а ʄ(в)= х∙ʄ(а). П: если масса тела в в 4 раза больше массы тела а, то в=4а. Если а=6кг, то в=4а= 4∙(6кг)= (4∙6)кг=24кг.

Аксиоматическое определение суммы натуральных чисел. Законы сложения. Таблица сложения

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N натуральных чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а+b, удовлетворяющее следующим св-ам:1. (∀ а є N) а + 1 = a' ; 2.(∀ a,b є N) а + b'= (а + b)'. Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми. Теорема 1(о существовании и единственности суммы). Сложение натуральных чисел всегда существует и единственно. Док-во существования. В мн. N существует операция, удовлетворяющая аксиомам сложения. Для док-ва достаточно указать операцию, удовлетворяющую этим аксиомам. Докажем м.матем.индукции, что при а=1 и любом b сложение можно производить по правилу: 1+ b= b’. Пусть b=1, тогда 1+1=1’. Это значит, что выполняется аксиома 1 сложения. Предположим, что операция сложения, определённая по правилу 1+ b= b’, удовлетворяет свойствам сложения 1-2 для некоторого произвольного натурального числа b, т.е.предположим, что 1+ b= b’. Пользуясь предположением, докажем, что введённая операция удовлетворяет аксиомам сложения и для числа b’, т.е.докажем, что 1+ b’=( b’)’. Действительно, поскольку b’=1+ b, то 1+ b’=(1+ b)’ =( b’) ’. Из последнего равенства следует выполнимость второй аксиомы а+ b’=(а+ b)’ для произвольного числа b’ при а=1. Итак, существование алгебраической операции, удовлетворяющей свойствам 1 и 2, при а=1 доказано. Предположим, что для некоторого произвольного натурального числа а существует алгебраическая операция, удовлетворяющая свойствам сложения 1 и 2. Используя это предположение, докажем существование алгебраической операции для числа а ’, удовлетворяющей аксиомам сложения 1 и 2. Введём правило:1+ b= b’. Проверим выполнение аксиом сложения 1 и 2 м.матем.индукции. Пусть b=1, тогда а ’+1=(а+1) ’= (а ’) ’,т.е.а ’+1= (а ’) ’, а это означает выполнимость первой аксиомы для некоторого числа b. Пользуясь предположением, докажем, что введённая операция сложения удовлетворяет аксиоме 2 и для b’. Действительно, а ’+ b’= (а+ b’) ’= ((а+ b)’) ’= (а ’+ b)’, т.е.а ’+ b’= (а ’+ b)’, а это означает выполнимость второго св-ва сложения для а ’. Таким образом, доказано существование алгебраической операции, удовлетворяющей св-ам 1 и 2 для числа а ’.

На основании доказанного и принципа мат.индукции заключаем, что операция сложения натуральных чисел существует. Пользуясь определением операции сложения, можно составить таблицу сложения однозначных натуральных чисел. Таблицу составим в следующей последовательности: сначала рассмотрим прибавление единицы к любому однозначному нат.числу, затем –прибавление числа 2 , затем- прибавление числа 3 и т.д. а)1+1=1’=2, 2+1=2’=3, 3+1=3’=4, 4+1=4’=5 и т.д. б)1+2=1+1’= (1+1) ’=2’=3, 2+2=2+1’= (2+1) ’=3’=4, 3+2= 3+1’= (3+1) ’= 4’=5 и т.д.

Теорема 2. (∀ а,b,с є N) (а + b) + с = а + (b + с)-ассоциативнаДоказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Покажем, что при с=1 верно равенство (a+b)+1 = а+(b+1) .Действительно, по определе¬нию сложения, имеем (а + b) + 1 = (a + b)' = a+b' = a+(b+1). Предположим, что при некотором с верно равенство (а + b) + с = а+(b+с). На основании предположения докажем, что для числа с' выполняется равенство (а+b)+c'= a+(b+c'). (a+b)+c' = ((а+b)+с)' =( а+ (b +с)) '= a+(b+c) '= a+ (b+c'). на основании м.матем.индукции данное равенство верно для любого нат.числа с. Так как числа а и b были выбраны произвольно, то это равенство будет верно и для любых натуральных а и b.

Теорема 3. (∀ a,b є N) а + b = b + а.-коммуникативнаЗаконы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный.Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения)- а + Ь = Ь + а. Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения)- (а + Ь) + с = а + (Ь + с).