§6. Енергія електростатичного поля
6.1. Енергія точкових зарядів
Розглянемо систему з двох точкових зарядів. Знайдемо алгебраїчну суму елементарних робіт сил F1 i F2 , з якими взаємодіють заряди. Нехай в системі відліку К за час ∆t заряди здійснили переміщення 
і 
, тоді робота цих сил чисельно дорівнює
.
Враховуючи те, що сила 
згідно з третім законом Ньютона, вираз для роботи можемо переписати у вигляді:
.
Величина в дужках – переміщення заряду 1 відносно заряду 2 в системі К’, яка жорстко зв’язана з зарядом 2 і переміщується з ним поступально по відношенню до даної системи К.
Переміщення 
заряду 1 в системі К може бути представлене як переміщення 
системи К’.
Тоді
Рис.6.1
З даного виразу бачимо, що сума елементарних робіт в довільній системі відліку К завжди дорівнює елементарній роботі, яку здійснює сила, яка дії на один заряд в системі відліку, де інший заряд знаходиться в стані спокою. Тобто, робота δА 12 не залежить від вибору К-ої системи відліку.
Сила F1, яка діє на заряд 1 з боку заряду 2 є консервативною і тому робота даної сили по переміщенню на dl1 може бути представлена як зменшення потенціальної енергії заряду 1 в полі заряду 2, або як зменшення потенціальної енергії взаємодії розглядуваної пари зарядів. Тобто, 
. Потенціальна енергія W12 залежить лише від відстані між зарядами.
Перейдемо до системи з трьох зарядів. Роботу, яку здійснюють всі сили взаємодії при переміщенні всіх зарядів можна представити як суму елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій.
.
Але для кожної пари взаємодій 
. І тому елементарна робота δА буде визначатися як:
,
де W – повна енергія взаємодії системи зарядів. Кожен доданок залежить від відстані між відповідними зарядами і тому потенціальна енергія взаємодії є функцією конфігурації системи зарядів.
Подібні міркування характерні для системи з будь-яким числом зарядів.
Отже кожній конфігурації довільної системи зарядів має своє значення енергії і робота всіх сил взаємодії при зміні конфігурації буде чисельно дорівнювати зменшенню потенціальної енергії.
. (6.1)
Знайдемо вираз для потенціальної енергії W. Для цього розглянемо систему з трьох точкових зарядів.
.
Перетворимо цю суму наступним чином: представимо кожний доданок Wik у вигляді:
(оскільки Wik=Wki).
Тоді повна енергія взаємодії перепишеться у вигляді:
.
Згрупуємо члени з однаковими першими індексами:
.
Кожна сума в круглих дужках – це енергія Wi взаємодії і-го заряду з двома іншими зарядами. Тому останній вираз можемо записати як суму
.
Узагальнення на систему із довільного числа зарядів очевидне, бо ясно, що при проведенні розрахунків і міркувань вираз не залежить від числа зарядів. Тому енергія взаємодії системи зарядів в загальному випадку:
. (6.2)
Враховуючи, що з означення потенціалу потенціальна енергія чисельно дорівнює добутку заряду на потенціал поля, в якому він знаходиться
,
де Qi – і-ий заряд системи, φі – потенціал, створений в місці знаходження і-го заряду всіма іншими зарядами системи. Підставимо цей вираз в формулу (6.2) і отримаємо кінцевий вираз для енергії взаємодії системи точкових зарядів.
. (6.3)
Якщо заряди розподілені неперервно, то розкладаючи систему зарядів на сукупність елементарних зарядів 
і переходячи від сумування до інтегрування у (6.3) отримаємо, що
, (6.4)
де φ – потенціал, створений всіма зарядами системи в елементі об’ємом dV. Аналогічний вираз можна записати при розподілі зарядів по поверхні:
.
Можна помилково вважати, що рівняння (6.4) – це лише видозмінений вираз (6.3), який відповідає заміні представлення про точкові заряди представленням про неперервний розподіл зарядів. Насправді, ці вирази відрізняються за змістом. Виникнення розбіжності полягає в різному змісті потенціалу φ.
Нехай, система складається з двох кульок, які мають заряди Q1 i Q2. Відстань між кульками набагато більша, ніж розміри самих кульок, тому заряди Q1 i Q2 можна вважати точковими. Знайдемо енергію системи за допомогою обох формул. Тоді
,
де φ12 – потенціал, створений другим зарядом, в місці знаходження першого. Аналогічний зміст має потенціал φ21.
Згідно формули (6.4) ми повинні розбити заряд на нескінченно малі заряди величиною ρdV і кожен з елементів помножити на потенціал, створений не лише іншими кульками, а й елементами даної кульки і, таким чином, результат буде інший.
,
де W1 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки, W2 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки, W12 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки з елементами заряду другої кульки.
Енергії W1, W2 називаються власними енергіями зарядів Q1 і Q2 відповідно, W12 – енергія взаємодії зарядів Q1 і Q2.
Таким чином, розрахунок енергії за формулою (6.3) дає лише величину W12, а за формулою (6.4) маємо повну енергію взаємодії (разом з власними енергіями зарядів).
Використовуючи формулу (6.4) можна одержати енергію зарядженого провідника і конденсатора.
