Доходи та витрати домогосподарств

Короткі теоретичні відомості.

Значна частина теоретичних та практичних задач призводять до рівнянь, у яких немає прямої залежності між величинами (функціями та незалежними змінними), а також вони містять швидкості зміни величин (похідні).

Такі нетотожні співвідношення між змінними та їх похідними називають диференціальними рівняннями.

Розглянемо лише звичайні диференціальні рівняння, тобто функції, що входять до диференціального рівняння, залежать тільки від одного аргументу.

При вивченні навколишнього середовища доводиться спостерігати явища, які залежать від часу. Такі явища називаються процесами.

Одним із важливих завдань при дослідженні природи є побудова математичної моделі екологічного явища чи процесу.

Із загальної теорії диференціальних рівнянь відомо, що можливість побудови математичної моделі процесу залежить від можливості встановлення функціонування залежності, що характеризує зміну процесу в часі. Розглянуті нижче моделі природничих процесів описуються диференціальними рівняннями (системою) виду

(1)

де – час.

Динаміка чисельності популяції – зміна загальної кількості живих особин популяції у зв’язку з народжуваністю і смертністю – одне з найважливіших питань екології популяцій.

Математична модель, що описує закон зміни чисельності популяції, задається диференціальним рівнянням

(2)

з початковою умовою

Задача 1(Експоненціальна модель). У сприятливих умовах (ресурси харчування необмежені та популяція ізольована) знаходиться деяка популяція бактерій N₀. З експериментальних досліджень відомо, що швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості.

I. Записати математичну модель процесу (закон зміни кількості особин популяції бактерій N(t)) у вигляді диференціального рівняння.

II. Записати закон зміни кількості бактерій з часом у вигляді аналітичної формули.

III. Дослідити, за яких умов N(t) з плином часу не змінюється? зростає? спадає?

IV. Чи відповідає знайдений закон дійсності?

Розв’язання.

I. 1) За умовою задачі визначаємо, яка змінна виконує роль функції, а яка змінна – її аргумент. Кількість бактерій N приймемо за функцію, а час t – за аргумент. Тоді N=f(t) – шукана функція.

2) Встановлюємо зміст похідної шуканої функції. З диференціального числення відомо, що швидкість розмноження бактерій у деякий момент часу t визначається .

3) Знайдемо залежність між шуканою функцією, її аргументом і похідною. За умовою задачі

~ N => = N,

де – коефіцієнт росту бактерій (специфічна, вроджена швидкість природного збільшення чисельності популяції). Шукане диференціальне рівняння запишеться

……………………………….(3)

де (3) – задача Коші.

II. У рівнянні відокремимо змінні і проінтегруємо його. Маємо

(4)

Для знаходження сталої с використаємо початкову умову N(0)= N₀: c = N₀. Отже,

N = N₀ (5)

– частинний розв’язок рівняння (3).

III. Розв’язок (5) рівняння (3) являє собою формулу експоненціального росту популяції бактерій. Якщо >0, то популяція з плином часу зростає; якщо =0 – залишається на постійному рівні N(t)=N(0)=N₀; якщо <0 – зменшується, прямуючи до нуля (гине). Ці випадки показано на рис. 1.

IV. Зауважимо, що (3) є найпростішою математичною моделлю, яка використовується для вивчення кількісної оцінки розвитку природних популяцій даючи достовірні результати лише на початковому етапі розвитку останньої.

N(t )

r>0

N₀ r=0

r<0

Рис.1. Експоненціальна модель розвитку популяцій популяцій

Математична модель (3) отримує подальший розвиток у спеціальних дисциплінах, що вивчаються студентами на старших курсах (принцип наступності) – при вивченні проблеми обробки стічних вод, вивчення методів боротьби з комахами-шкідниками.

Приклади дії даної математичної моделі у природі: розмноження клітин дріжджів, „цвітіння” води у водоймищах, вибух чисельності шкідників тощо.

Задача 2(Логістична модель). На основі експериментальних досліджень встановлено, що швидкість росту популяції пропорційна її наявній кількості з коефіцієнтом пропорційності, що рівний різниці між середньою народжуваністю і середньою смертністю. Покладаючи, що середня народжуваність рівна , , середня смертність , де - чисельність популяції, - коефіцієнт внутрівидової конкуренції, причому . Знайти закон зміни чисельності особин N(t)популяції з плином часу, якщо . Провести дослідження та побудувати графік функції .

Розв’язання.

За умовою задачі складаємо диференціальне рівняння

, (6)

що задає закон зміни чисельності популяції і відоме у науковій літературі як логістична модель.

Нехай параметр - ємність середовища, тоді рівняння (6) можна записати у вигляді

(7)

У рівнянні (7) відокремимо змінні:

(8)

Використавши теорему про представлення правильного раціонального дробу у вигляді суми простіших раціональних дробів, дріб лівої частини рівності (8) запишеться:

.

Одержимо

.

Звідки

. (9)

Підставивши початкову умову в рівність (9) знайдемо сталу інтегрування: . Знайдене значення С підставимо в (9):

.

Звідки запишемо закон зміни чисельності популяції:

(10)

Дослідимо поведінку графіка функції (10).

а) Областю визначення функції D(N): . Область значень .

б) Оскільки

де при , то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції (10).

Величину називають ще рівноваговим розміром популяції.

в) З рівняння (6) можна зробити висновок, що коли K N, то для будь-яких t 0.

Тому досліджувана функція немає екстремумів і буде зростати на всій області визначення.

г) Знайдемо похідну другого порядку функції (10). Для цього продиференціюємо рівність (7). Маємо

(11)

Підставимо в (11) значення функції N(t) з (10). Маємо

З останньої рівності визначаємо критичну точку другого роду функції:

,

або

(12)

З’ясовуємо, що на інтервалі графік досліджуваної функції буде увігнутий, а на інтервалі - опуклий.

Точка A точка перегину графіка функції.

д) На основі проведеного дослідження будуємо графік функції (10).

Рис. 2. Логістична модель

Графік функції N(t) (рис. 2) нагадує S – подібну криву, яку ще називають ,,логістичною” кривою. Важливо, що для багатьох популяцій ця крива співпадає з експериментальними дослідженнями.

Логістичне рівняння (6) було вперше запропоноване Ферхюльстом у 1838 р., пізніше ,,перевідкрите” Пірлом.

Рівняння Ферхюльста-Пірла враховує ,,так званий ефект самоотруєння популяції” або, точніше, внутрівидову конкуренцію популяції.

Для вивчення теорії популяцій важливими є наступні твердження:

1) Якщо в деякий початковий момент часу чисельність популяції невелика ( ), то розвиток популяції відбувається по увігнутій кривій до точкиперегину А.

2) В точці А спостерігається найбільша швидкість зростання чисельності популяції. А це означає, що коли популяція експлуатується шляхом збору врожаю (наприклад, для пеніцелінових грибків), то її чисельність необхідно підтримувати на рівні половини рівновагового значення, тобто .

3) При необмеженому зростання часу t чисельність популяції асимптотично наближається до деякого граничного (максимально можливого у заданих умовах) значення .

Доходи та витрати домогосподарств

Достатність доходів домогосподарств є необхідною умовою їх нормального відтворення і формування необхідного життєвого рівня населення. Формування доходів домогосподарств проходить такі етапи:

1) первинний етап, на якому визначальну роль відіграють витрати і використання факторів виробництва, у результаті чого формуються доходи у вигляді заробітної плати, ренти, процента і прибутку;

2) наступний етап, який передбачає вплив перерозподільчих відносин (трансфертні платежі).

Виділяють такі статті доходів домогосподарств:

• оплата праці членів сім’ї;

• пенсії, стипендії, допомоги, субсидії, дотації на путівки до санаторно-курортних установ для дорослих і дітей, на утримання дітей у дошкільних закладах;

• надходження від особистого підсобного господарства;

• дохід з інших джерел (здавання в оренду, спекуляції тощо).

Сукупний дохід домогосподарства не повинен бути нижчим за прожитковий мінімум, тобто нижчим, ніж вартість набору то­варів і послуг, розрахована за нормами і нормативами споживання і забезпеченості населення першочерговими життєвими засобами. Прожитковий мінімум використовується для встановлення мінімаль­ного рівня доходів сімей, а також мінімальних розмірів заробітної плати, пенсій, стипендій та інших соціальних виплат і пільг.

Для оцінки доходів населення, крім прожиткового мінімуму, має враховуватись і оптимальний споживчий бюджет – вар­тість набору життєвих засобів, розрахована за нормами і нор­мативами споживання, які задовольняють розумні раціональні потреби людей. Цей показник використовують для оцінки досяг­нутого рівня життя населення і вибору найбільш ефективних шля­хів його підвищення.

Даючи економічну оцінку домашнім господарствам, слід проаналізувати не тільки джерела їхніх доходів, але і розподіл їх між собою, оскільки розподіл доходів дає уявлення про рівень життя у країні та стан вирішення соціальних проблем. Варто відмітити, що у світі спостерігається значна нерівність в отриманні та розподілі особистих доходів населення. Основу для нерівномірного розподілу доходів створюють: воло­діння нерухомістю, засобами виробництва, сільськогосподарськи­ми угіддями тощо; становище на ринку; наявність особистих контактів із членами уряду, сила політичного впливу, дискримінація; труднощі економічного характеру і т. ін.

Нерівність розподілу доходів породжує проблему бідності, яка характерна як для України, так і для розвинутих країн. Ступінь нерівності в одержанні доходів окремими групами населення показує крива Лоренца (за ім’ям американського економіста Макса Лоренцо (1876-1959 рр)).

Як бачимо, на графіку (рис. 2.35) по одній осі відкладена частка сімей з різними доходами, а по іншій – частка доходу. Якщо уявити, що доходи розподіляються рівномірно, то це означатиме, що існує абсолютна рівність, за якої, наприклад, 10% сімей одержують 10% доходу, 30% сімей – 30% доходу, 70% сімей – 70% доходу і т. д. Такий розподіл на графіку показує бісектриса ОА.

Реальний розподіл, як показують реальні результати його аналізу у багатьох країнах, відбувається таким чином, що більша частина сукупного доходу розподіляється на користь меншої частини сімей. Його відображає на графіку крива Лоренца. Чим далі ця крива відхиляється від бісектриси, тим більший ступінь нерівності в розподілі доходів. Абсолютна нерівність в розподілі на графіку показана лініями ОВ і АВ, які обмежують графік внизу і справа. У цій ситуації графік розподілу співпадає з осями системи координат з вершиною в точці В. Він показує, що менше 1% сімей отримують 100% доходу, а інші – взагалі нічого не отримують.

Якщо заштриховану площу між бісектрисою і кривою Лоренца поділити на площу трикутника АОВ, отримаємо показник ступеня нерівномірності в доходах. Його називають коефіцієнтом Джині (за ім’ям італійського економіста Коррадо Джині (1884-1965 рр.), який запропонував використовувати цей коефіцієнт). Чим більший цей коефіцієнт, тим більший ступінь нерівномірності. На сьогодні цей індекс в Україні складає 0,359.

У сучасній економічній теорії поряд із кривою Лоренца та коефіцієнтом Джині для аналізу нерівномірності у розподілі доходів використовують так звані децильні та квантильні коефіцієнти. Це відношення багатства 10 або 20% найбідніших членів суспільства до такої ж кількості найбагатших. Так, у США співвідношення доходів 20% багатих і 20% бідних складає 1:6, у Франції – 1:10, у Японії і Німеччині –1:3, у скандинавських країнах – 1:2,5, у Росії – 1:15,5 (за децильним коефіцієнтом). В Україні за різними оцінками цей показник розрізняється від 10 до 100 разів.

Оскільки доходи виступають у грошовій формі, їх реальні розміри мають оцінюватись, виходячи із купівельної спроможності грошей, які безпосередньо надходять у розпорядження їх власника. Тому розрізняють номінальні та реальні доходи. Номінальні доходи характеризують рівень грошових доходів незалежно від розмірів оподаткування та зміни цін на товари та послуги. Реальні доходи – це доходи з урахуванням роздрібних цін і тарифів на товари та послуги, розміру податків та обов’язкових платежів. Щоб розрахувати реальні доходи, необхідно від номінальних доходів відняти податки та обов’язкові платежі у бюджет. Це буде величина кінцевих доходів, які, в свою чергу, слід скорегувати на рівень цін.

Якщо реальні доходи населення зменшуються у зв’язку з інфляцією, то державі слід проводити політику індексації доходів, яка сприяє утриманню доходів на попередньому рівні. Індексація доходів – це показник перерахування величини грошового вмісту доходів, вкладень, цінних паперів, заощаджень залежно від рівня інфляції. Її здійснюють держава, банки, страхові компанії, акціонерні товариства та ін. Індексація доходів проводиться з метою компенсувати подорожчання споживчого кошика і виражається у підвищенні доходів населення. Індексація вкладів означає зміну розміру процентних ставок, індексація податків – зміну їх розмірів залежно від зміни цін, розмірів зарплати тощо.

У розвинутих країнах індексація проводиться, якщо рівень цін зростає більше, як на 5% в рік. Індексація, як правило, стосується тих категорій населення, які отримують доходи із державного бюджету. В Україні вона стосується лише найменш оплачуваних категорій населення, що отримують доходи із бюджету.

Після аналізу категорії «доходи до­могосподарства» та їх розподілу, доцільно перейти до роз­гляду поняття «витрати домогосподарства». Розподіл доходу домогосподарства відбувається наступним чином: частина доходу надходить державі у вигляді податків, а залишок, що залишається у розпорядженні, може використовуватись ли­ше двома способами – або на споживання, або на заощадження.

Споживання домогосподарств – це придбання товарів особистого користування, тобто купівля продуктів харчування, одягу, взуття, меблів, предметів побуту, автомобілів, витрати на соціально-культурні та побутові послуги.

Розгляда­ючи споживання, доцільно ознайомитися з деякими закономірностями, що йому притаманні у ринковій економіці. Витрати домогосподарства на споживання пов’язані з попитом та з такими явищами, як ефект доходу, ефект заміщення, споживчий надли­шок, максимізація корисності.

Ефект доходу означає вплив зміни ціни на реальний дохід споживачів. Якщо грошовий дохід домогосподарства є ста­лим, то збільшення ціни для нього рівнозначне зменшенню його реального доходу або купівельної спроможності.

Ефект заміни полягає у тому, що коли ціна на то­вар зростає, то споживачі намагаються його замінити більш дешевим товаром-замінником. Наприклад, якщо лосось став дорожчим продуктом харчування, то домогосподарства будуть менше купувати лосося і більше купуватимуть коропа чи ляща.

Споживчий надлишок. Аналіз закону спадної граничної корисності, який був розглянутий у темі 2-3, показує, що існує розрив між за­гальною корисністю блага і його ринковою вартістю, що вира­жається додатковою вигодою для домогосподарства, або спо­живчим надлишком.Ця вигода виникає у зв’язку з тим, що споживачі платять однакову ціну за кожну одиницю певного продукту.

Максимізація граничної корисності. Головна умова максимального задоволення корисності така: споживач зі сталим доходом досягне максимальної корисності, якщо гранична корис­ність останньої гривні, витраченої на певний товар, є такою са­мою, як і гранична корисність останньої гривні, витраченої на будь-який інший товар. Цим правилом максимізації корисності керується на ринку кожен споживач, купуючи товари.

Заощадження– це та частина доходу домогосподарства, що не сплачується у вигляді податків та не витрачається на ку­півлю товарів особистого споживання.

Причини для збереження доходу можуть бути найрізноманіт­нішими. Якщо зробити спробу ці причини класифікувати, то їх можна розділити на дві групи. Одна група – захист доходів, на­приклад, прагнення забезпечити себе на «чорний день» у разі ви­никнення непередбачуваних обставин, бажання покращити вза­галі фінансову забезпеченість своєї сім’ї та ін. Друга група причин – зберігання частини дохо­ду з метою витрачання його на придбання цінних паперів, щоб у майбутньому отримати прибуток від підвищення їх номіналь­ної вартості.