Найпростіші моделі популяційної динаміки

Дослідити виникнення динамічного хаосу в наступних СІФ. Графічно представити отримані результати.

Відомо, що кожне із цих відображень стискається зі швидкістю стискання

В якості початкової множини взяти вершини

Література

1. Краснопольская Т. С., Швец Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным возбуждением. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. – 280с.

2. Э. Петерс Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер с англ. – М.: Мир. 2000. – 333 с. ил.

3. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. - М.: Мир, 1988. - 352 с.

4. Р. М. Кроновер , Фрактали і хаос в динамічних системах. М.-Постмаркет,2000.-352 с.

5. Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley&Sons, New York, 1990.

6. Шредінгер Е. Волькенштейн М.В. Общая биофизика.- М.: Наука, 1981.

Найпростіші моделі популяційної динаміки

Короткі теоретичні відомості.

Значна частина теоретичних та практичних задач призводять до рівнянь, у яких немає прямої залежності між величинами (функціями та незалежними змінними), а також вони містять швидкості зміни величин (похідні).

Такі нетотожні співвідношення між змінними та їх похідними називають диференціальними рівняннями.

Розглянемо лише звичайні диференціальні рівняння, тобто функції, що входять до диференціального рівняння, залежать тільки від одного аргументу.

При вивченні навколишнього середовища доводиться спостерігати явища, які залежать від часу. Такі явища називаються процесами.

Одним із важливих завдань при дослідженні природи є побудова математичної моделі екологічного явища чи процесу.

Із загальної теорії диференціальних рівнянь відомо, що можливість побудови математичної моделі процесу залежить від можливості встановлення функціонування залежності, що характеризує зміну процесу в часі. Розглянуті нижче моделі природничих процесів описуються диференціальними рівняннями (системою) виду

(1)

де – час.

Динаміка чисельності популяції – зміна загальної кількості живих особин популяції у зв’язку з народжуваністю і смертністю – одне з найважливіших питань екології популяцій.

Математична модель, що описує закон зміни чисельності популяції, задається диференціальним рівнянням

(2)

з початковою умовою

Задача 1(Експоненціальна модель). У сприятливих умовах (ресурси харчування необмежені та популяція ізольована) знаходиться деяка популяція бактерій N₀. З експериментальних досліджень відомо, що швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості.

I. Записати математичну модель процесу (закон зміни кількості особин популяції бактерій N(t)) у вигляді диференціального рівняння.

II. Записати закон зміни кількості бактерій з часом у вигляді аналітичної формули.

III. Дослідити, за яких умов N(t) з плином часу не змінюється? зростає? спадає?

IV. Чи відповідає знайдений закон дійсності?

Розв’язання.

I. 1) За умовою задачі визначаємо, яка змінна виконує роль функції, а яка змінна – її аргумент. Кількість бактерій N приймемо за функцію, а час t – за аргумент. Тоді N=f(t) – шукана функція.

2) Встановлюємо зміст похідної шуканої функції. З диференціального числення відомо, що швидкість розмноження бактерій у деякий момент часу t визначається .

3) Знайдемо залежність між шуканою функцією, її аргументом і похідною. За умовою задачі

~ N => = N,

де – коефіцієнт росту бактерій (специфічна, вроджена швидкість природного збільшення чисельності популяції). Шукане диференціальне рівняння запишеться

……………………………….(3)

де (3) – задача Коші.

II. У рівнянні відокремимо змінні і проінтегруємо його. Маємо

(4)

Для знаходження сталої с використаємо початкову умову N(0)= N₀: c = N₀. Отже,

N = N₀ (5)

– частинний розв’язок рівняння (3).

III. Розв’язок (5) рівняння (3) являє собою формулу експоненціального росту популяції бактерій. Якщо >0, то популяція з плином часу зростає; якщо =0 – залишається на постійному рівні N(t)=N(0)=N₀; якщо <0 – зменшується, прямуючи до нуля (гине). Ці випадки показано на рис. 1.

IV. Зауважимо, що (3) є найпростішою математичною моделлю, яка використовується для вивчення кількісної оцінки розвитку природних популяцій даючи достовірні результати лише на початковому етапі розвитку останньої.

N(t )

r>0

N₀ r=0

r<0

Рис.1. Експоненціальна модель розвитку популяцій популяцій

Математична модель (3) отримує подальший розвиток у спеціальних дисциплінах, що вивчаються студентами на старших курсах (принцип наступності) – при вивченні проблеми обробки стічних вод, вивчення методів боротьби з комахами-шкідниками.

Приклади дії даної математичної моделі у природі: розмноження клітин дріжджів, „цвітіння” води у водоймищах, вибух чисельності шкідників тощо.

Задача 2(Логістична модель). На основі експериментальних досліджень встановлено, що швидкість росту популяції пропорційна її наявній кількості з коефіцієнтом пропорційності, що рівний різниці між середньою народжуваністю і середньою смертністю. Покладаючи, що середня народжуваність рівна , , середня смертність , де - чисельність популяції, - коефіцієнт внутрівидової конкуренції, причому . Знайти закон зміни чисельності особин N(t)популяції з плином часу, якщо . Провести дослідження та побудувати графік функції .

Розв’язання.

За умовою задачі складаємо диференціальне рівняння

, (6)

що задає закон зміни чисельності популяції і відоме у науковій літературі як логістична модель.

Нехай параметр - ємність середовища, тоді рівняння (6) можна записати у вигляді

(7)

У рівнянні (7) відокремимо змінні:

(8)

Використавши теорему про представлення правильного раціонального дробу у вигляді суми простіших раціональних дробів, дріб лівої частини рівності (8) запишеться:

.

Одержимо

.

Звідки

. (9)

Підставивши початкову умову в рівність (9) знайдемо сталу інтегрування: . Знайдене значення С підставимо в (9):

.

Звідки запишемо закон зміни чисельності популяції:

(10)

Дослідимо поведінку графіка функції (10).

а) Областю визначення функції D(N): . Область значень .

б) Оскільки

де при , то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції (10).

Величину називають ще рівноваговим розміром популяції.

в) З рівняння (6) можна зробити висновок, що коли K N, то для будь-яких t 0.

Тому досліджувана функція немає екстремумів і буде зростати на всій області визначення.

г) Знайдемо похідну другого порядку функції (10). Для цього продиференціюємо рівність (7). Маємо

(11)

Підставимо в (11) значення функції N(t) з (10). Маємо

З останньої рівності визначаємо критичну точку другого роду функції:

,

або

(12)

З’ясовуємо, що на інтервалі графік досліджуваної функції буде увігнутий, а на інтервалі - опуклий.

Точка A точка перегину графіка функції.

д) На основі проведеного дослідження будуємо графік функції (10).

Рис. 2. Логістична модель

Графік функції N(t) (рис. 2) нагадує S – подібну криву, яку ще називають ,,логістичною” кривою. Важливо, що для багатьох популяцій ця крива співпадає з експериментальними дослідженнями.

Логістичне рівняння (6) було вперше запропоноване Ферхюльстом у 1838 р., пізніше ,,перевідкрите” Пірлом.

Рівняння Ферхюльста-Пірла враховує ,,так званий ефект самоотруєння популяції” або, точніше, внутрівидову конкуренцію популяції.

Для вивчення теорії популяцій важливими є наступні твердження:

1) Якщо в деякий початковий момент часу чисельність популяції невелика ( ), то розвиток популяції відбувається по увігнутій кривій до точкиперегину А.

2) В точці А спостерігається найбільша швидкість зростання чисельності популяції. А це означає, що коли популяція експлуатується шляхом збору врожаю (наприклад, для пеніцелінових грибків), то її чисельність необхідно підтримувати на рівні половини рівновагового значення, тобто .

3) При необмеженому зростання часу t чисельність популяції асимптотично наближається до деякого граничного (максимально можливого у заданих умовах) значення .