Література
Комбінація перспективного перетворення з проекційним утворює перспективну проекцію. Перспективна проекція представляє собою перетворення зображення з 3-ох-мірного простору в 2-ох-мірний. Якщо центр здійснення проекції розташовується в нескінченності, то паралельна проекція називається аксонометричною. Іншими словами, вид проекції залежить від розташування цього центру.
Афінна і перспективна геометрія
Теореми афінної геометрії, ідентичні теоремам евклідової геометрії. У них важливими є поняття паралельності і співвідношення між паралельними лініями. Афінні перетворення – є комбінацією лінійних, супроводжуваних переносом зображень. Для афінних перетворень, останній стовпець в узагальненій матриці перетворення розміром 4х4, повинен бути рівний , інакше перетворена однорідна координата H, не буде одиничною і немає однозначного співвідношення між афінними перетвореннями і матрицею перетворень 4х4.
Афінні перетворення формують зручну підсистему білінійних перетворень, так як добуток двох афінних перетворень також є афінним. Це дозволяє представити узагальнену орієнтацію системи точок, по відношенню до довільної координатної системи, при збереженні одиничного значення однорідної координати H.
Перспективними перетвореннями часто користуються художники і архітектори, так як ці зображення дозволяють отримати матрицю близьку до реальної, однак через складність побудов їх рідко використовують конструктори.
В перспективній геометрії немає двох ліній паралельних одна одній і перспективна площина може бути розглянута як полусферна поверхня, а перспективне перетворення, як перетворення з одного 3-ох-мірного простору в інший. Перспективне перетворення має місце у випадку, коли останній стовпець в узагальненій матриці перетворення не нульовий.
Перспективне перетворення асоціюється з побудовою проекції на площині з точки , іменованої центром проекції.
5.1 Аксонометрична проекція
Аксонометрична проекція отримується за допомогою афінного перетворення, визначник якого det (T) = 0. Для отримання аксонометричних залежностей, що описують афінні перетворення, використовується матриця перетворення 4х4, необхідна для афінного перетворення системи точок.
Точки потім проектуються на площину з центру здійснення проекції – нескінченності. Афінне перетворення з 3-ох-мірного простору Z = n, може бути знайдене за допомогою наступної операції:
(5.1)
Це перетворення, являє собою перенесення зображення в напрямку осі Z на величину n, яке слідує за здійсненням проекції з нескінченності на площину Z = 0.
(5.2)
В результаті перетворення Т′ та Т′′ ми отримали аксонометричну проекцію на площині Z = n. Для виконання операції переносу необхідно перемістити площину Z = 0 в деяке інше положення, тоді проекція в площині Z = 0 буде відповідати проекції в площині Z = n.
Перетворення аксонометричної проекції у відповідну ненульову площину, завжди містить третій стовпець, який відповідний площині проекції. Такі проекції часто називають ортографічними.
Ортографічна проекція на площині:
(5.3)
5.2 Перспективні перетворення
Ненульові елементи в перших 3-ох рядках останнього стовпця матриці перетворень 4х4 здійснюють паралельні перетворення. Паралельна проекція виходить шляхом перспективного перетворення і здійснення проекції на деяку біполярну площину спостереження. Паралельна проекція на площину Z=0, забезпечується перетворенням:
(5.4)
Таким чином перетвореними координатами є:
(5.5)
Перетворення на площину Z = 0не завжди може бути зручним, так як втрачається інформація по координаті Z. Для того щоб не втрачати інформацію по координаті Z, можна використовувати перетворення виду:
(5.6)
отримуємо відповідні результати в просторі.
(5.7)
(5.8)
Перетворення, задані рівняннями , називаються одноточковими або паралельними перспективними перетвореннями. Якщо 2 елементи в 4-ому стовпці матриці перетворення є не нульовими, то виходить двоточкова або кутова перспектива:
(5.9)
Якщо 3 елементи останнього стовпця матриці перетворення не є нульовими, то в результаті виходить трьохточкова або коса перспектива.
Перетворення:
(5.10)
Звичайні координати:
Маємо три точки сходу: (1/p;0;0) (0;1/q;0) (0;0;1/r) .
5.3 Стереографічна проекція
У багатьох додатках важливо збільшення сприйняття 3-ох-мірної глибини сцени. Для сприйняття глибини у системи око-мозок існує 2 основних типи підказок: монокулярні і бінокулярні, залежно від того скільки очей використовується, одне або два.
Основними монокулярними підказками є:
1) Перспектива − сходження в одну точку паралельних прямих.
2) Паралакс руху − при горизонтальних рухах голови здається, що ближні об'єкти на площині проекції більше ніж віддалені.
3) Відносний розмір знайомих спостерігачеві об'єктів.
4) Перекриття − більш близький об'єкт загороджує інші і розташований перед більш віддаленими.
5) Світло і тінь.
6) Ослаблення атмосфери і не здатність ока через це розрізняти дрібні деталі віддалених об'єктів.
7) Фокусуюча акомодація − для об'єктів розташованих на різних відстанях потрібні різні зусилля фокусуючих м'язів ока.
Основними бінокулярними підказками є:
1) Кути зближення оптичних осей очей.
2)Неузгодженість на сітківці − різниця в розташуванні спроектованих на сітківку ока об'єктів інтерпретуються як різниця у відстані до очей.
Монокулярний зір, дає нам слабке сприйняття тривимірної глибини. Бінокулярний зір дає дуже сильне сприйняття глибини, тому що система око-мозок складає в одне 2 різних зображення, створених для кожного ока.
Стереографія намагається створити зображення з характеристиками аналогічними справжньому бінокулярного зору. Для створення матриці стереозображення існує кілька методів. Всі вони ґрунтуються на тому, що для лівого і правого ока готуються різні зображення.
У двох методах, що називаються колірним анагліфом і поляризованим анагліфом для отримання лівим і правим оком зображення використовуються фільтри.
У першому випадку − двома різними кольорами створюються два зображення, одне для лівого ока, а інше для правого.
При перегляді через відповідні фільтри ліве око бачить ліве зображення, праве − праве зображення. Система око-мозок об'єднує обидва 2-мірних зображення в одне 3-мірне з правильними кольорами. У другому випадку замість кольорових фільтрів використовуються поляризовані.
У третьому методі використовується поперечне проектування видів для лівого і правого ока. Відповідний пристрій перегляду синхронізовано так, щоб світло не потрапляло в інше око.
У четвертому методі автростереоскопії спеціального обладнання не потрібно. Метод заснований на використанні плоских екранів.
Зображення називається паралельними панорамограмами і панорамними паралаксними стереограмами. У всіх цих методах потрібно здійснення проекції об'єктів з двох різних центрів проекції (одна для лівого ока, друга − для правого).
Для людини з середнім зором, найбільш сильний стереоефект спостерігається на відстані 60 см. Так для відстані між очима 6 см стереовугол:
Рис.25 – Стереографічна проекція
В стереоскопі, приладі для розгляду стереопар, позначеним через d масштабну відстань між очима. Якщо окуляр стереоскопа має відстань k, то величина d визначається умовою:
(5.11)
Таким чином, щоб витримати точне значення ε потрібно розрахувати d = k / 10. Щоб забезпечити таку масштабну відстань при створенні перспективного зображення для лівого ока, потрібно виконати горизонтальне зміщення на:
(5.12)
Перед отриманням стереографічній проекції, необхідно відцентрувати об’єкт по відношенню до осі Z, а потім повернути щодо осі yдля забезпечення двоточкової перспективи або навколо y і x для триточкової. Вказані операції призведуть до нових векторів положення точок, що описують перетворене зображення. Для створення стереопари матрицю, що містить нові вектори положення, перетворюють за допомогою 2-ох матриць LE і RE.
(5.13)
У результаті отримаємо два однорідних перспективних зображення для лівого ока LE і для правого ока RE.
1. Ньюмен У. Основы интерактивной машинной графики / У. Ньюмен, Р. Спрулл. – М.: Мир, 1976. – 573с.
2. Фоли Дж. Основы интерактивной машинной графики [ в 2-х т.] / Дж. Фоли, А. вэн Дэм. – М.: Мир, 1985. – 368с.
3. Эйнджел Э. Интерактивная компьютерная графика [2-е издание]/ Э. Эйнджел М.– Сп-б, Киев, Издательский Дом «Вильямс», 2001.
4. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. – 604 с.
5. Васильев В.Е., Морозов А.В. Компьютерная графика: Учеб. пособие. – СПб.: СЗТУ, 2005. – 101с.
6. Божко А. Компьютерная графика / А. Божко, Д.М. Жук, В.Б. Маничев. – МГТУ им. Баумана, 2007. – 392.
7. Залогова Л.А. Компьютерная графика / Л.А. Залогова. – М.: БИНОМ, 2008. – 350с.
КОМП’ЮТЕРНА ГРАФІКА
Підписано до друку______. Формат 60´84 1/16.
Умовн. друк. арк. 51. Наклад ___ прим.
Надруковано видавницький центром ОНАХТ «Технолог».
65039, Одеса, вул. Канатна, 112
