Способи формування нечітких множин

Функції належності

Інструментарій нечіткої логіки (ІНЛ) у складі пакету Matlab містить 11 вбудованих типів функцій належності (ФП), що формуються на основі кусково-лінійних функцій, розподілу Гаусса, сигмоидной кривий, квадратичних і кубічних поліноміальних кривих. До найбільш простим ФП можна віднести трикутну і трапецієподібну. Найменування трикутної ФП - trimf (triangle membership function). В параметричного вигляді вона являє собою не що інше, як набір трьох точок, які утворюють трикутник.

Опис функції:= trimf(x, [ab]),

де вектор х - базове безліч, на якому визначається ФП. Величини і задають підстава трикутника, b- його вершину.
пВ аналітичному вигляді трикутна ФП може бути задана наступним чином (мал. П1, а):

Рис. П1. Трикутна () і трапецієвидна (в) функції приналежності

Далі розглянемо приклади використання різних ФП у системі.

Приклади являють собою фрагменти програм і коментарів мовою пакету Matlab.

Приклад П1. Програма використання ФП trimf

х = 0 : 0,1 : 10; Задається базове безліч
= trimf(x, [3 6 8]); Визначається трикутна ФП
plot (х, у) ; Виводиться графік функції
xlabel("trimf(x, P), P = [3 6 8]"); Підписується графік під віссю абсцис

Трапецієподібна ФП - trapmf (trapezoid membership function) - відрізняється від попередньої функції лише тим, що має верхнє підставу.

Опис функції: = trapmf(х, [abс d]),
де параметри і d - нижня основа трапеції;
bі -верхнє підстава трапеції (мал. П1, б).

Аналітична запис трапецієподібної функції має вигляд:

Одна з основних переваг трикутних і трапецієподібних ФП - їх простота. На основі функції розподілу Гаусса можна побудувати ФП двох видів: просту функцію приналежності Гаусса й двосторонню, утворену з допомогою різних функцій розподілу Гаусса. Перша з них позначається gaussmf, а друга - gauss2mf.

Опис функції:
= gaussmf(x, [, з]).

Симетрична функція Гаусса залежить від двох параметрів і (рис. П.2, а):

Приклад П2. Програма використання ФП gaussmf

X= 0 : 0,1 : 10;
Y= gaussmf(х, [2 5]);
plot (х, у);

Рис. П2. Проста (а) і двостороння (б) функції належності Гаусса.

Опис функції: = gauss2mf (x, [1, с1, 2, c2]).
пПоследнее вираз є комбінацією двох різних функцій розподілу Гаусса. Перша визначається параметрами 1 і с1 і задає форму лівого боку, а друга (параметри 2, c2) - правою сторони ФП.

с1 < c2, то в цьому випадку функція gauss2mf досягає свого максимального значення на рівні 1. Інакше - максимальне значення функції менше 1 (рис. П2, б).

Приклад ПЗ. Програма використання ФП gauss2mf

х= (0 : 0,1 : 10)";
y1 = gauss2mf(x, [2 4 1 8]);
у2 = gauss2mf(x, [2 5 1 7]);
уЗ = gauss2mf(x, [2 6 1 6]);
у4 = gauss2mf(x, [2 7 1 5]);
У5 = gauss2mf(x, [2 8 1 4]);
Plot (x, [y1 у2 уЗ у4 у5]);

Символ «"» у рядку визначення базового безлічі х показує транспонированность базового безлічі.
пСледующей функцією, яка дозволяє представляти нечіткі суб'єктивні переваги, є ФП «узагальнений дзвін» і позначається gbellmf(generalized bell shape membership function).

gbellmf, P = [2 4 6]
Рис. П3. Функція приналежності «узагальнений дзвін»

Її відмінність від розглянутих ФП полягає в додаванні третього параметра, що дозволяє здійснювати плавний перехід між нечіткими множинами.

Опис функції: = gbellmf (x, [а b з]) .
Функція «узагальнений дзвін» залежить від трьох параметрів і має наступну аналітичну запис:

де - визначає розташування центру ФП; і b - впливають на форму кривої (мал. ПЗ).

Приклад П4. Програма використання gbellmf

х = 0 : 0,1 : 10;
= gbellmf (х, [2 4 6]);
plot(x, y);
xlabel("gbellmf, р = [2 4 61]").

Функції належності на основі функції розподілу Гаусса й ФП “узагальнений дзвін” відрізняються гладкістю і простотою запису і є найбільш використовуваними при описі нечітких множин. Незважаючи на те, що гауссовы і колоколообразные ФП володіють властивістю гладкості, вони не дозволяють формувати асиметричні ФП. Для цих цілей передбачений набір сигмоидных функцій, які можуть бути відкриті або ліворуч або праворуч в залежності від типу функції. Симетричні і закриті функції синтезують з використанням двох додаткових сигмоид. Основна сигмоидная ФП позначається sigmf, а додаткові - dsigmf і psigmf.

Опис основний сигмоидной функції: = sigmf (х, [a]з).
В аналітичній формі сигмоидная функція sigmf записується наступним чином:

пВ залежності від знаку параметра розглянута ФП буде відкрита або праворуч або ліворуч (мал. П4, ), що дозволить застосовувати її при описі таких нечітких понять, як «дуже великий», «вкрай негативно» та ін.