Спектральна щільність модульованої імпульсної послідовності

Дослідимо спектр сигналу, що виникає на виході ідеального імпульсного модулятора та задано виразом (1.309). Підмітимо, що сигнал виду МІП з точністю до коефіцієнта пропорційності дорівнює добутку функції та дискретизуючої послідовності :

.

(1.310)

Згідно з даною моделлю, значення сигналу в паузах умовно вважаються рівним нулю.

Відомо, що спектр добутку двох сигналів пропорційний згортці їх спектральних щільностей (див. п. 1.2). Тому якщо відомі закони відповідності сигналів та спектрів:

,

то спектральна щільність МІП-сигналу

.

(1.311)

Щоб знайти спектральну щільність дискретизуючої послідовності, розкладемо періодичну функцію в комплексний ряд Фур'є:

.

Коефіцієнти цього ряду

.

Тут тривалість прямокутних імпульсів, які формують вибірки, прямує до нуля.

Звернувшись до формули (1.130) , отримаємо

.

(1.312)

інакше спектр дискретизуючої послідовності складається з нескінченної сукупності дельта-імпульсів у частотній області. Дана спектральна щільність є періодичною функцією з періодом .

Нарешті, підставивши формулу (1.312) в (1.311) і змінивши порядок проходження операцій інтегрування та додавання, знаходимо

.

(1.313)

Отже, спектр сигналу, отриманого в результаті ідеальної дискретизації нескінченно короткими стробуючими імпульсами, є сума нескінченного числа «копій» спектра вихідного аналогового сигналу. Копії розташовуються на осі частот через однакові інтервали , які рівні значенню кутової частоти першої гармоніки дискретизуючої імпульсної послідовності (рис. 1.156,а, б)