3. Подаємо перелік управлінських рішень 
для кожного кроку і відповідні обмеження щодо них.
4. Визначаємо ефект, що його забезпечує управлінське рішення 
, на j- му кроці, якщо перед тим система була у стані S, як функцію ефективності:
5. Досліджуємо, як змінюється стан S системи під впливом управлінського на j- му кроці, переходячи до нового стану:
.
6. Будуємо для розглядуваної задачі рекурентну залежність, що визначає умовний оптимальний ефект 
, починаючи з j- го кроку і до останнього, через вже відому функцію 
:
Цьому ефекту відповідає умовне оптимальне управління на j- му кроці 
. Зауважимо, що за аргумент функції 
беремо не s, а змінений стан системи, тобто 
.
7.Здійснюємо умовну оптимізацію останнього n-го кроку, розглядаючи множину станів s, що на один крок віддалені від кінцевого стану, і визначаємо умовний оптимальний ефект на n-му кроці:
Далі знаходимо умовне оптимальне управлінське рішення 
, завдяки якому цей максимум досягається.
8. Виконуємо умовну оптимізацію 
- го, 
- го і т. д., тобто всіх попередніх кроків за рекурентними залежностями п.6, і для кожного кроку знаходимо умовне оптимальне управління:
9. Здійснюємо безумовну оптимізацію управління у «зворотному» напрямі — від початкового стану 
до кінцевого. Для цього з урахуванням визначеного оптимального управління на першому кроці 
змінюємо стан системи згідно з п. 5. Далі для цього нового стану знаходимо оптимальне управління на другому кроці 
і діємо так до останнього кроку.
9.3. Метод рекурентних співвідношень. Використання принципу Беллмана і алгоритму Джонсона.
Фірма планує нарощувати виробничі потужності на чотирьох підприємствах, маючи для цього 4 млн грн. Для кожного з підприємств розроблено інвестиційні проекти, які відбивають прогнозовані сумарні витрати С та доходи D, пов'язані з реалізацією кожного проекту. Зміст цих проектів ілюструє таблиця:
Перший проект передбачає відмовитися від розширення підприємства, а тому має нульові витрати і доходи. Розробити план І інвестування виділених коштів у зазначені підприємства так, щоб одержати максимальний прибуток.
Розв'язування. Спрощеним і найменш ефективним способом розв'язування таких задач є перебір усіх можливих варіантів. Проте на практиці їх так багато, що проаналізувати всі і вибрати серед них найефективніший неможливо. Головними недоліками такого способу розв'язування є великий обсяг обчислень, відсутність апріорної інформації про неприпустимі розв'язки, а також немо жливість скористатися проміжними результатами аналізу для відкидання неоптимальних комбінацій проектів.
Розв'яжемо цю задачу за алгоритмом (методом) зворотного прогону. Кроками задачі вважатимемо кожне з чотирьох підпри ємств, оскільки для кожного з них маємо вибрати оптимальний інвестиційний проект за обмежених грошових ресурсів.
Зауважимо, що в цьому разі нединамічний процес розглядаємо як динамічний, аби скористатися методами динамічного програ мування для знаходження оптимального розв'язку. Зв'язок між зазначеними кроками забезпечується обмеженнями на загальний обсяг виділених коштів — 4 млн грн.
Змінні задачі візьмемо так, щоб послідовно керувати процесом розподілу коштів:
— обсяг капіталовкладень, виділених на кроках 1—4;
— те саме на кроках 2—4;
— те саме на кроках 3 і 4;
— те саме на кроці 4.
— обсяги інвестицій на г'-му підприємстві 
.
— оптимальні обсяги інвестицій на і- му підприємстві.
Рекурентне співвідношення для зворотного прогону від кроку 4-го до 1-го (від четвертого підприємства до першого) подається у вигляді:
де 
— сумарна ефективність інвестицій з і- го кроку до останнього.
Тут 
, оскільки п'ятого підприємства не існує. Виконаємо поетапні розрахунки за цією моделлю.
Етап 4.
Результати розрахунків подамо табицею:
|
| Дохід 
| Оптимальний розв’язок
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Етап 3.
за умов
Результати розрахунків відбиває таблиця:
|
| Дохід 
| Оптимальний розв’язок
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
| 
| 
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
| 
| 
| 
| 
|
| 2 або 4
|
| | | | | | | | |
Розрахунки виконуються так. Нехай потрібно знайти 
.
Обчислюємо
.
Отже,
Запишемо, що 
, оскільки для третього підприємства не існує проекту з інвестиціями в 1 млн грн. Значення 
беремо з попередньої таблиці. Далі маємо:
Етап 2.
за умов
Результати розрахунків подаємо таблицею:
|
| Дохід 
| Оптимальний розв’язок
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Етап 1.
за умов
Виконуємо розрахунки лише для 
, подаючи їх у вигляді таблиці:
|
| Дохід 
| Оптимальний розв’язок
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
Знайдемо оптимальний план. Із таблиці першого кроку випливає, що 
, тобто для першого підприємства реалізується другий проект, який використовує 1 млн грн. інвестицій з ефективністю 3 млн грн. Отже, 
для другого, третього і четвертого підприємств залишається 4-1=3 млн грн. інвестицій. Із таблиці другого кроку маємо, що за умов 
максимальний ефект настає в разі реалізації для другого підприємства першого проекту 
ефективність становить 4 млн грн. Отже, , тобто для третього і чет вертого підприємств слід використати 2 млн грн. інвестицій. Із таблиці третього кроку за умов 
маємо, що 
. Отже, 
, а йому відповідають капітальні вкладення , ефективність яких 8 млн грн. Остаточно маємо: ефективність 4 млн грн. інвестицій становить 3+4 + 8=15 (млн грн.).
Від'ємні обернені зв'язки.
