Лекция 12

Жазықтықтағы және кеңістіктегі түрлендірулер. Матрица және проекция түрлері.

Компьютерлік графикада екіөлшемді жағдайға байланыстының бәрін (2D) (2-dimension) белгісімен белгілеу қабылданған.

Жазықтықта тік сызықты координаталар жүйесі берілсін. Әрбір М нүктесіне (х,у) саны сәйкес келеді. Жазықтыққа тағы да бір тік сызықты координаталар жүйесін енгізіп, М нүктесіне басқа (х*,у*)санының сәйкестігін аламыз Жазықтықтың бір тік сызықты координаталар жүйесінен басқа бір тік сызықты координаталар жүйесіне өтуі төмендегі қатынастар арқылы жазылады: х*= αx + βy + λ, у*= γx + δy + μ (3.1) мұнда α, β, λ, γ, δ, μ

теңсіздігімен байланысты кез келген сандар. Ескерту. (3.1) формуланы екі түрде қарастыруға болады; не нүкте сақталады және координаталық жүйе өзгереді (3.2-сурет) – бұл жағдайда кез келген М нүктесі сол күйінде қалады, тек оның координаталары өзгереді. (х,у)

(х^*, у^*), Не нүкте өзгереді және координаталық жүйе сақталады (3.3-сурет)-бұл жағдайда, (3.1) формула координаталары осы координаталар жүйесінде анықталған кез келген М(х,у) нүктесінің М^*(х^*, у^*) нүктесіне өтетін бейнені береді. Жазықтықтағы аффиндік түрлендіруде бірнеше маңызды дербес жағдайлар ерекше роль атқарады. А. Бастапқы нүктені φ бұрышына айнала бұру (3.4-сурет) х*=хcosφ-ysinφ y*=xsinφ+ycosφ формуласымен жазылады. Б. Растяжение (Сжатие). Созылу (қысу) Координаталық осьті жағалай қысуды төмендегідей түрде беруге болады. х*= α х, y*= δy, α>0, δ>0 Абцисса осін жағалай созу(қысу) α>0 (α<2) шарты кезінде қамтамасыз етіледі. 3.5- суретте α= δ >1 В. Шағылу (абсцисса осіне қарағанда) (3.6-сурет). х^*=х, у^*=-у формуласының көмегімен беріледі α Г. 3.7-суретте ММ^* тасымал векторының координаталары

. х^*=х+

, у^*=у+

у . М (х,у). х о

3.1-сурет у у^* х^* о^* о х 3.2-сурет

М^* М х у 3.3-сурет

М^* М х

у 3.4-сурет М^* М х 3.5-сурет

у М х М^* 3.6-сурет

у М^* М Х 3.7-сурет

Осы төрт дербес екі жағдаймен анықталады.

* Жоғарыда келтірілген түрлендірулердің әрқайсысының өзіндік ерекшеліктері бар.

* Аналитикалық геометрия курсында дәлелденгендей (3.1) түріндегі кез келген А, Б, В, Г түріндегі қарапайым түрлендірулер түрінде көрсетуге болады.

Компьютерлік графикада бұл белгілі формулаларды нәтижелі түрде пайдалану үшін оларды матрицалық түрде жазу өте ыңғайлыболып табылады.

А, Б және В жағдайларына сәйкес матрицалар жеңіл құрылады және сәйкесінше төмендегідей болады:

, ,

Үш өлшемді кескіндер

Кеңістіктегі түрлендірулер, проекциялау.

Енді біз үш өлшемді жағдайға (3d) (3-dimension) қарастырамыз және бірден бірыңғай координаталарды енгізуден бастаймыз.

Екі өлшемді жағдайға ұқсас, кеңітіктегі берілген нүктелердің (x, y, z) координаталық үштігін (x, y, z, 1) санына және жалпы төртікке (hx, hy, hz, h), h 0 ауыстырамыз.

А. Кеңістіктегі айналу матрицалары.

Абсцисса осінің төңірегінде бұрышына айналу матрицасы

Ордината осінің төңірегінде бұрышына айналу матрицасы

Аппликата осінің төңірегінде бұрышына айналу матрицасы

Б. Созу (қысу матрицасы).

Мұнда -абсцисса осі бойынша созу (қысу) коэффициенті

-ордината осі бойынша созу (қысу) коэффициенті

-аппликата осі бойынша созу (қысу) коэффициенті.

В. Шағылу матрицалары.

ХУ жазықтығына қарағандағы шағылу матрицасы

УZ жазықтығына қарағандағы шағылу матрицасы

ZХ жазықтығына қарағандағы шағылу матрицасы

Г. Тасымал матрицасы (матрица переноса).

мұнда - тасымал векторы.

Картиналық жазықтықтағы объектілерді бейнелеу тағы да бір геометриялық амал – түзулер шоғының көмегімен проекциялаумен тығыз байланысты.

Компьютерлік графикада проекциялаудың бірнеше түрі пайдаланылады. Практикада көптеп қолданатын проекциялаудың түрі параллельдік және орталық.

Орталық проекциялау жағдайында барлық түзулер бір нүктеден шығады. Параллель проекциялау жағдайында шоғырдың ортасы шексіздікте жатады деп есептелінеді. (4.1-сурет)