, (1)
складається з двох етапів: відокремлення коренів, тобто встановлення проміжків 
, 
, в кожному з яких міститься тільки один корінь; уточнення коренів, тобто їх обчислення з наперед заданою точністю 
. Для відокремлення коренів використовуються аналітичні або графічні методи. Для уточнення коренів використовуються ітераційні методи. Розглянемо деякі методи уточнення коренів.
1. Метод поділу проміжку навпіл. Якщо функція 
неперервна і набуває на кінцях проміжку 
значень різних знаків, тобто 
, то корінь рівняння (1) 
можна обчислити з наперед заданою точністю . Побудуємо обчислювальний процес. Обчислимо середину проміжку 
. Оскільки , то буде: 
, або 
, або . Якщо , то знайдено точне значення кореня 
і процес завершується. При корінь міститься на проміжку 
, покладемо 
, при корінь міститься на проміжку 
, покладемо 
. Якщо довжина проміжку більша за , то знову обчислюється середина проміжку і т. д. Якщо довжина проміжку менша за , то процес обчислень завершується, а 
вважається наближенням кореня з точністю .
2. Метод ітерацій. Нехай на проміжку рівняння (1), де неперервна на функція, має єдиний корінь . Замінимо рівняння (1) еквівалентним йому рівнянням 
так, щоб 
, 
, а всі значення 
належали проміжку при 
.
Починаючи з деякого початкового наближення 
знаходимо послідовні наближення за формулою
, 
. (2)
Обчислення завершуються при виконані умови
, (3)
при цьому 
вважається наближеним значенням кореня 
з заданою точністю .
Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді так, щоб виконувалися вище наведені умови, наприклад,
, (4)
де 
– стала. При 
рівняння (4) і (1) еквівалентні. Сталу добирають так, щоб в околі кореня було 
тобто, щоб виконувались умови 
. Отже стала повинна мати той самий знак, що й 
, і задовольняти умову 
. Процес збігається тим швидше, чим ближче 
до нуля. Отже, слід добирати так щоб добуток 
був по можливості ближчий до 
для всіх .
3. Метод хорд (січних).Якщо функція двічі неперервно диференційовна на проміжку , похідні 
відмінні від нуля і зберігають знак на цьому проміжку, а , то за методом хорд наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину хорди, що проходить через точки 
, з віссю 
.
Послідовні наближення кореня знаходять за формулою
, , (5)
де 
якщо 
, або 
якщо 
. Обчислення завершуються при виконанні умови
, (6)
де – задана точність, 
, 
, при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
4. Метод дотичних (Ньютона).Якщо функція задовольняє ті ж умови, що і в методі хорд, то за методом дотичних наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої 
в одній із точок 
чи 
з віссю .
Послідовні наближення кореня знаходять за формулою
, , (7)
де якщо , або якщо . Обчислення завершуються при виконані умови
, (8)
де – задана точність, , 
, при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
5. Комбінований метод. Якщо функція задовольняє ті ж умови, що і в методі хорд, і в методі дотичних, то для уточнення кореня зручно комбінувати метод хорд і метод дотичних. При цьому одержуються оцінки кореня зверху і знизу.
Послідовні наближення кореня знаходять за формулами
, (9)
, 
, (10)
де 
якщо , або 
якщо .
Обчислення завершуються при виконанні умови
, (11)
де – задана точність, при цьому 
вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
Завдання:
Розробити програму обчислення таблиці значень інтеграла з заданою точністю для 
, що змінюється на інтервалі 
з кроком 
. Для обчислення значення інтеграла використати одну із формул наближеного інтегрування для завдань: 1-4 – прямокутників; 5-9 – трапецій; 10-14 – Сімпсона. У програмі використати підпрограму обчислення інтеграла за вказаною формулою, в яку передати підінтегральну функцію як параметр. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення інтеграла.
1. 
, 
, 
, 
.
2. 
, , 
, 
.
3. 
, 
, , .
4. 
, , , .
5. 
, 
, 
, .
6. 
, , 
, 
.
7. 
, 
, 
, .
8. 
, 
, , .
9. 
, , , .
10. 
, 
, , .
11. 
, , 
, .
12. 
, , , .
13. 
, , 
, .
14. 
, , , 
.
Розробити програму уточнення коренів рівняння на відрізку з точністю 
. Для уточнення коренів рівняння використати один із ітераційних методів для завдань: 15-18 – поділу відрізка пополам; 19-21 – ітерацій; 22-24 – хорд; 25-27 – дотичних; 28-30 – комбінований. У програмі використати підпрограму уточнення коренів рівняння за вказаним методом, в яку передати як параметр функцію обчислення . Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, у кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення кореня.
15. 
, 
.
16. 
, 
.
17. 
, .
18. 
, .
19. 
, 
.
20. 
, .
21. 
, .
22. 
, .
23. 
, .
24. 
, .
25. 
, .
26. 
, .
27. 
, .
28. , .
29. 
, .
30. 
, .
Основная (фундаментальная) задача теории оптимизации и ее 4 части.
Упр-ние, с помощью к-ого м. б. достигнута заданная цель при условии min-ции (max-ции) определенного критерия с-мы, составляет основную (фундаментальную) задачу теории опт-ции.
Эта задача разделяется на 4 взаимосвязанные части: 1) определение цели, 2) определение с-мы относительно цели, 3) определение внешних факторов, оказывающих влияние на прошлое, наст. и будущее, 4) выбор наилучшей тактики поведения, исходя из цели, знания текущего состояния и внешних факторов.
1) Для решения задачи опт-ции необходимо определить целевую (стоимостную) ф-цию опт-емого процесса при этом первоначально требуется дать вербальное описание этой цели, дать соответствующую формулировку задачи физической интерпретации, осущ-ть описание этого физического процесса на язык математики.
2) Для осущ-ния эффективного (опт-ого) упр-ния процессом (с-мой) необходимо знать его текущее состояние. Процесс определения этого состояния наз-ся задачей оценки состояния с-мы (процесса). Эта задача состоит в нахождении «наилучшей» (опт-ной) оценки вектора состояния с-мы 
истинного состояния с-мы X(t) по известному знач-ию наблюдаемого состояния с-мы Z(t) при влиянии на с-му случ-ых вх-ых возд-ий и шумов измерения.
3) Кроме того, необходимо охарактеризовать с-му (процесс) с помощью адекватной модели, зависящей от различных внешних факторов, и этот этап считают этапом идентификации с-мы.
4) При условии знания ф-ции стоимости (цели), состояния и пар-ров с-мы м. перейти к определению наилучшего (опт-ого) упр-ния, min-ющего (max-ющего) ф-цию цели.
