Логіка (грец. λόγος – слово, смисл, думка, мова) – наука про форми, методи і закони інтелектуальної пізнавальної діяльності, правильного мислення, про способи міркування. Логіка як наука вивчає способи отримання правильних висновків з висновків, отриманих раніше.
Один з розділів логіки – математична логіка –є наукою про закони математичного мислення. До основних понять математичної логіки входить поняття висловлення.Під висловленням розуміютьрозповідне речення, про яке можна однозначно сказати, правильне (істинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення позначають великими літерами англійського алфавіту, наприклад, А = «Київ – столиця України», В = «2 + 2 = 5».
Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивості вважаються несуттєвими. Значення істинності висловлення позначають 1абоtrue, якщо висловлення істинне, 0 абоfalse,якщо висловлення хибне. Наприклад, висловлення А = «Київ – столиця України» є істинним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true.Висловлення С = «3 > 5» є хибним, тобто значення його властивості істинність дорівнює false.
Запам’ятайте!
Значення true та false називаються логічними константами.
Із заданих висловлень можна отримати нові – складені – використовуючи логічні операції: заперечення, кон’юнкцію (лат. conjunctio – об’єднання), диз’юнкцію (лат. disjunctio – роз’єднання) та інші.
Запам’ятайте!
Запереченням називається операція утворення з висловлення А такого складеного висловлення`А (читається «не А»), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне.
Використанню операції заперечення в українській мові відповідає вживання частки «не» перед дієсловом. Наприклад, запереченням висловлення А = «Існує найбільше просте число» є висловлення `А = «Не існує найбільшого простого числа».
Висловлення та його заперечення не можуть бути одночасно істинними або одночасно хибними.
Подібно до того, як у математиці використовують таблиці додавання та множення для визначення результатів виконання цих арифметичних операцій, у математичній логіці використовують таблиці істинності. У таблиці істинності для кожного можливого набору значень властивості істинність висловлень наводиться відповідне значення цієї властивості для висловлення, яке є результатом виконання логічної операції над ними.
За означенням, заперечення виконується над одним висловленням, яке може бути абло істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції заперечення має такий вигляд:
Запам’ятайте!
Кон’юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А /\ В(читається «А і В»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А і В істинні.
Використанню операції кон’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «і». Наприклад, висловлення В = «Число 27 кратне 3 і число 27 кратне 9» є кон’юнкцією двох висловлень: «Число 27 кратне 3» та «Число 27 кратне 9»,
За означенням, кон’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції кон’юнкція має такий вигляд:
Операцію кон’юнкція також називають логічним множенням.
Запам’ятайте!
Диз’юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А \/ В(читається «А або В»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне з висловлень А або В.
Використанню операції диз’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «або». Наприклад, висловлення С = «21 ≤ 21» є диз’юнкцією двох висловлень: "21=21" та " 21<21".
За означенням, диз’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції диз’юнкція має такий вигляд:
Операцію диз’юнкція також називають логічним додаванням.
При розв’язуванні багатьох задач зустрічаються висловлення із змінними, в яких використовуються знаки порівняння: > (більше), < (менше), = (дорівнює), <>(не дорівнює), >= (більше або дорівнює), <= (менше або дорівнює), наприклад, x > 5, y < z. Такі висловлення можуть бути істинними при одних значеннях змінних і хибними при інших.
Висловлення x < 0 є простим, а висловлення 3 < x < 5 – складеним. Останнє можна представити як кон’юнкцію двох простих висловлень: (x > 3) /\ (x < 5).
Наприклад, щоб визначити, чи лежить точка з координатами (х, у) у першій координатній чверті, потрібно визначити істинність складеного висловлення (х > 0) і (y > 0). Для точки з координатами (3, -5) матимемо (3 > 0) і (-5 > 0). Оскільки перше твердження істинне, а друге – хибне, то їх кон’юнкція хибна. Тобто ця точка не лежіть у першій чверті.
