АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

3.1 Аудиторні завдання

1. Задане загальне рівняння прямої 12х-5у-65=0.Написати:

1)рівняння з кутовим коефіцієнтом;

2) рівняння у відрізках;

3) нормальне рівняння.

2. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат:

1) паралельно прямій у=4х-3;

2) перпендикулярно до прямої у=1/2 х+1.

3) нахиленої під Ð60° до прямої у=х-1.

3. Визначити відстань від точки М(2, -1) до прямої , що відсікає на вісях координат відрізки а=8, b=6.

4. Задані вершини трикутника А (2, -3) і В (5, 1), рівняння сторони ВС: х+2у=7 і медіани АМ: 5х-у-13=0. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини С на сторону АВ і відшукати її довжину.

5. Задані вершини трикутника: А(1, 1), В(10, 13), С (13,6). Скласти рівняння:

1) бісектриси кута А;

2) медіани, проведеної з вершини В;

3) висоти, що опущено з вершини С.

Обчислити площу трикутника.

6. Задана пряма l: 4х-3у-7=0. Які із точок А(5/2, 1), В(3, 2), С ( 1, -1), D (0, -2), Е (4, 3), F (5, 2) лежать на цій прямій?

[ А є l, В Ï l, C є l, DÏl, Е є l, F є l ].

7. Задані сторони трикутника: х+у-6=0, 3х-5у+14=0 та 5х-3у-14=0. Скласти рівняння його висот [ х-у=0, 5х+3у-26=0, 3х+5у-26=0 ].

8. А ( 2, -5) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій х-2у-7=0. Обчислити площу квадрата [5].

9. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо відома одна із його вершин А (-4, 2) і рівняння двох медіан: 3х-2у+2=0 та 3х+5у-12=0. [ 2х+у-8=0, х-3у+10=0, х+4у-4=0 ].

10. Знайти координати центру тяжіння рівнобедреного трикутника, якщо рівняння його бічних сторін 7 х- у-9=0 і 5х+5у-35=0, а точка D (-3, 8 ) лежить на його основі.

11. Скласти рівняння кола, описаного біля трикутника, сторони якого задані рівняннями 9х-2у–41=0, 7 х+4 у + 7= 0, х-3у+1=0.

12. Встановити, які криві визначаються нижчеслідуючими рівняннями. Зробити малюнок.

13. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса . [ 4х+3у+12=0].

14. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої знаходяться у відповідних фокусах і вершинах еліпса.

15. На параболі знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

3.2. Індивідуальні завдання

3.2.1 Трикутник АВС задано координатами його вершин. Зробити креслення і знайти:

а) довжину і рівняння сторони АВ;

б) точку перетину медіан, що проведені з вершин В і С;

в) довжину і рівняння висоти, що проведена із вершини С на сторону АВ;

г) рівняння середньої лінії паралельної стороні ВС;

д) рівняння бісектриси, яку проведено із вершини В;

е) тангенс кута при вершині А.

1. А ( 3 ,-2 ) ; В ( 5 , 4 ) ; С (-3 , 1 ).

2. А ( 2 ,-2 ) ; В ( 5 , 3) ; С ( 1 , 5 ).

3. А ( 2 ,-3 ) ; В (-1 , 2 ) ; С ( 3 , 4 ).

4. А ( -1 , 1 ) ; В ( 1 , 6 ) ; С ( 3 , 1 ).

5. А (-1 , 6 ) ; В ( 5 ,-2 ) ; С ( 3 , 2 ).

6. А ( 3 , 4 ) ; В ( 5 ,-2 ) ; С ( 0 , 6 ).

7. А ( 4 ,-6 ) ; В ( 2 ,-8 ) ; С (-1 , 2 ).

8. А (-3, 1 ) ; В (-2 , 2 ) ; С ( 2 , 4 ).

9. А ( 3 , 5 ) ; В (-1 ,-1 ) ; С (-4 , 2 ).

10. А ( 1 ,-1 ) ; В ( 4 , 8 ) ; С (-2 , 3 ).

11. А (-2 , 4 ) ; В (-6 , 4 ) ; С ( 2 , 2 ).

12. А ( 1 , 1 ) ; В (-6 , 2 ) ; С ( 2 ,-4 ).

13. А (-1 , 4 ) ; В ( 4, 4 ) ; С ( 2,-5 ).

14. А (-2 ,-1 ) ; В (-6 , 1 ) ; С ( 2 ,-8 ).

15. А ( 2 ,-8 ) ; В ( 2 , 1 ) ; С (-6 , 0 ).

16. А ( 2 , 3 ) ; В (-2 ,-1 ) ; С (-4 ,1 ).

17. А (-6 ,-2 ) ; В ( 4 ,-1 ) ; С ( 0 , 4 ).

18. А ( 2 , 1 ) ; В ( 3 , 8 ) ; С (-4 , 5 ).

19. А (-1 , 4 ) ; В ( 6 ,-8 ) ; С (-2 , 1 ).

20. А ( 2 ,-6 ) ; В ( 3 , 3 ) ; С (-4 , 8 ).

21. А ( 3 , 8 ) ; В ( 6 ,-2 ) ; С (-2 , 0).

22. А (-1 , 4 ) ; В (-6 ,-8 ) ; С ( 3 , 6 ).

23. А ( 2 ,-4 ) ; В (-6 , 1 ) ; С ( 3 , 4 ).

24. А ( 2 ,-8 ) ; В (2 ,-5 ) ; С (-4 , 8 ).

25. А ( 2 , 3 ) ; В (-6 ,-4 ) ; С (-2 , 1 ).

26. А (-3 , 8 ) ; В ( 4 , 6 ) ; С (-6 ,-8 ).

27. А ( 1 , 2 ) ; В (-8 , 1 ) ; С (-3 ,-1 ) ;

28. А (-6 ,-1 ) ; В ( 1, 2 ) ; С (-4 , 8 ).

29. А ( 1 ,-1 ) ; В ( 6 , 4 ) ; С (-2 , 3 ).

30. А (-6 , 2 ) ; В ( 2 ,-2 ) ; С (-4 ,-5 ).

3.2.2 Знайти рівняння прямих, , які проходять через т. M і розташовані паралельно та перпендикулярно до відомої прямої l. Рівняння прямої l записати у «відрізках» та побудувати її.

Таблиця 3.1

№ вар	т.М	Пряма	№ вар	т.М	Пряма
1.	( -1,2)		16.	(1, -4)
2.	(2, -1)		17.	(-3, 4)
3.	(-1, 3)		18.	(4, -3)
4.	(3, -1)		19.	(-4, 3)
5.	(1, -2)		20.	(3, -4)
6.	(-2, 1)		21.	(2, -4)
7.	(1, -3)		22.	(-4, 2)
8.	(-3, 1)		23.	(-2, 4)
9.	(-2, 3)		24.	(4,-2)
10.	(3,-2)		25.	(1,-5)
11.	(-3, 2)		26.	(-5, 1)
12.	(2, -3)		27.	(-1, 5)
13.	(-1, 4)		28.	(5, -1)
14.	(4, -1)		29.	(2,-5)
15.	(-4, 1)	2	30.	(5,-2)

3.2.3 Розв¢язати наступні задачі.

1. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих 3х-2у-7=0 і х+3у-6=0 та відтинає на додатньому напрямку вісі ОХ відрізок довжиною 3 одиниці.

2. Знайти проекцію точки А (-8, 12) на пряму, яка проходить через точки В (2,-3) і С (-5,1).

3. Задані дві вершини трикутника АВС: А (-4, 4) , В (4,-12) і точка М (4, 2) перетину його висот. Скласти рівняння висоти СМ .

4. Знайти рівняння прямої, яка відтинає на від'ємному напрямку вісі ординат відрізок довжиною 2 одиниці і проходить паралельно прямій 2у-х=3.

5. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А ( 2,-3) і точку перетину прямих 2х-у=5 і х+у=1.

6. Довести, що чотирикутник АВСD – трапеція, якщо А( 3, 6), В (5, 2), С (-1,-3), D (-5, 5).

7. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку А( 3, 1) перпендикулярно до прямої ВС, якщо В (2, 5), С (1, 0).

8. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А (-2, 1) паралельно прямій МN, якщо М (-3,-2 ), N ( 1, 6).

9. Знайти точку, симетричну точці М (2,-1) відносно до прямої х-2у+3=0.

10. Знайти точку О перетину діагоналей чотирикутника АВСD, якщо А(-1,-3), В ( 3, 5), С ( 5, 2), D ( 3, -5).

11. Через точку перетину прямих 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести пряму, яка паралельна вісі абсцис.

12. Відомі рівняння сторони АВ трикутника АВС 4х+у=12, його висот ВН 5х-4у=12 і АМ х+у=6. Знайти рівняння двох інших сторін трикутника АВС.

13. Задані дві вершини трикутника АВС: А (-6, 2), В ( 2,-2) і точка перетину його висот Н ( 1, 2) Знайти координати точки М перетину сторони АС і висоти ВН.

14. Знайти рівняння висот трикутника АВС, які проходять через вершини А і В, якщо А (-4, 2), В (3, -5), С (5, 0).

15. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, які проведені через середини сторін трикутника, вершинами якого є точки А ( 2, 3), В (0,-3), С( 6,-3).

16. Скласти рівняння висоти, яка проведена через вершину А трикутника АВС, знаючи рівняння його сторін: АВ: 2х-у-3=0, АС: х+5у-7=0, ВС: 3х-2у+13=0.

17. Заданий трикутник з вершинами А ( 3, 1), В (-3, -1) і С (5,-12). Знайти рівняння і обчислити довжину його медіани, проведеної із вершини С.

18. Скласти рівняння прямої, яка проходить через початок координат і точку перетину прямих 2х+5у-8=0 і 2х+3у+4=0.

19. Знайти рівняння перпендикулярів до прямої 3х+5у-15=0, які проведені через точки перетину заданой прямої з вісями координат.

20. Задані рівняння сторін чотирикутника : х - у=0, х +3 у=0, х-у-4=0, 3х+у-12=0. Знайти рівняння його діагоналей.

21. Скласти рівняння медіани СМ і висоти СК трикутника АВС, якщо А (4, 6), В(-4, 0), С(-1,-4).

22. Через точку Р (5, 2) провести пряму: а) яка відтинає рівні відрізки на вісях координат; б) паралельну вісі Ох; в) паралельну вісі Оу.

23. Записати рівняння прямої, що проходить через точку

А( -2, 3) і складає з віссю Ох кут: а) 45°, б) 90°, в) 0°.

24. Яку ординату має точка С, яка лежить на одній прямій з точками А (-6, -6) і В (-3,-1) і має абсцису рівну 3?

25. Через точку перетину прямих 2х-5у-1=0 і х+4у-7=0 провести пряму, яка ділить відрізок між точками А ( 4, -3) і В ( -1,2 ) у відношенні l=2/3.

26. Відомі рівняння двох сторін ромба 2х-5у-1=0 і 2х-5у-34=0 і рівняння однієї із його діагоналей х+3у-6=0. Знайти рівняння другої діагоналі.

27. Знайти точку Е перетину медіан трикутника, вершинами якого є точки А (-3, 1), В ( 7, 5) і С ( 5,-3).

28. Записати рівняння прямих, які проходять через точку А (-1; 1) під кутом 45° до прямої 2х+3у=6.

29. Задані рівняння висот трикутника АВС 2х-3у+1=0, х+2у+1=0 і координати його вершини А ( 2, 3). Знайти рівняння сторін АВ і АС трикутника.

30. Задані рівняння двох сторін паралелограма х-2у=0, х-у-1=0 і точка перетину його діагоналей М ( 3,-1) Знайти рівняння двох інших сторін.

3.2.4. Задані рівняння кривих другого порядку . Установити їх вид. Для еліпса і гіперболи знайти центр, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис, рівняння асимптот для гіперболи. Для параболи знайти координати вершини, рівняння вісі симетрії, значення параметра. Зробити креслення в системі xOy.

Таблиця 3.2

Вар				Вар
	-16					-32	-359
		-16			-32	-144	-416
					-72		-56
		-2			-24	-64
	-64	-8			-6	-128
		-6				-24
	-24		-39
		-18			-32	-54	-47
			-47			-72
		-150	-111		-36	-4
			-839				-104
		-16	-131		-6	-100
	-18		-171		-64
	-32				-4
						-54	-311

Таблица 3.3

Вар						Вар

		-9	-16	-54	-29		-25		-50	-32
	-1		-6	-16				-36	-32
		-4		-32	-19		-9
	-25		-100	-2	-74			-16	-24
		-4	-64				-1			-128
	-49		-196	-6	-138			-4
		-25	-24	-50			-4		-24
	-1		-4	-18				-9	-32
		-16		-32			-25		-150	-72
	-16		-64	-150				-1	-36
		-36		-72			-4		-8
	-49		-98	-16				-25	-6		-66
		-36	-18	-144			-16				-44
	-4				-56			-49	-4	-98
		-36		-288	-539		-49		-294	-36

Таблица 3.4

Вар						Вар
				-24				-3		-6	-27
					-16
			-6	-24					-20	-4	-78
			-12
				-8					-24		-68
					-9		-4			-32	-80
	-2		-12		-38				-12	-12
			-16				-2		-4
			-30	-30				-3		-12	-84
		-2	-16	-12						-12	-16
	-3				-15					-4	-6
			-20				-4		-8	-32	-68
				-32				-2
				-12							-18
	-2				-50			-2

3.2.5 Перейшовши до полярних координат, побудувати криву, задану рівнянням у декартових координатах.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

4. Пряма та площина у просторі

4.1 Аудиторні завдання

1. Знайти рівняння площини, яка проходе через точки

А(1; -1; -1), В(2;1; 5) та С(1; 1; 3).

2. Знайти параметричні рівняння прямої, яка проходе через точку А(1; 1; 3), та паралельна прямій .

3. Знайти рівняння площини у відрізках, якщо площина проходе через точку А(1; 2; 3) та паралельна площині .

4. Для точки А(-2; -2; 9) та площини знайти проекцію точки на площину та відстань від точки до площини.

5. Знайти точку симетричну точці А(1; 1; 3) відносно прямої, яка проходе через точки В(1; -1; -1) та С(2;1; 5). ( ).

6. Знайти кут між прямою та прямою, яка проходе через точки А(-2; -2; 9) та В(1; 1; 3). ( ).

7. Знайти кут між прямою та площиною . ( ).

8. Знайти відстань між прямою та прямою, яка проходе через точки А(-2; -2; 9) та В(1; 1; 3). ( ).

4.2 Індивідуальні завдання

Задано точки знайти:

1. Рівняння площини (АВС) у «відрізках» та побудувати її.

2. Рівняння прямої, яка проходе через точку С та паралельна прямій (АВ).

3. Рівняння площини, що проходить через точку C перпендикулярно прямій АВ.

4. Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до площини (АВС).

5. Рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині (АВС).

6. Відстань від точки до площини (АВС).

7. Проекцію точки на площину (АВС).

8. Точку симетричну точці відносно площини (АВС).

9. Точку симетричну точці С відносно прямої (АВ).

10. Кут між прямими (АВ) та (СD).

11. Кут між прямою (СD) та площиною (АВС).

12. Відстань між прямими (АВ) та (СD).

Варіанти індивідуальних завдань

1.	А (1; 1; 1),	В(3; 2; 1)	С(-5; -1; 2),	D(2; 0; 4).
2.	А(-2; 1; 1),	В(0; 2; 1),	С(-2; 2; 2),	D(-3; 1; -3).
3.	А (3; 1; 1),	В(1; 1; 2),	С(5; 2; 1),	D(6; -1; 2).
4.	А(3; 1; -1),	В(1; -1; 2),	С(5; -3; 2),	D(9; 7; -1).
5.	А(-8; 2; 1),	В(4; 1; -4),	С(-2; -1; 1)	D(6; -1; 6).
6.	А(-7; 1; 3),	В(5; 1; -3),	С(-5; 2; 1),	D(7; 2; 4)
7.	А(2; -5; 2)	В(-2; 3; 2),	С(1; 3; -1),	D(-1; -3; -5).
8.	А(0; 2; -2),	В(1; -6; 1),	С(2; -2; -2),	D(2; 3; 0).
9.	А(-1; -3; 2),	В(1; 1; -2),	С(-1; -1; 1),	D(-2; 0; -3).
10.	А(-2; 1; 5),	В(1; 1; -1),	С(2; -2; 3),	D(-2; 0; -2).
11.	А(1; 0; -4)	В(-2; 1; 0),	С(1; 1; -6),	D(2; 4; -5).
12.	А(-3; 1; 3),	В(1; 1; -5),	С(1; -2; 1),	D(2; 1; 2).
13.	А(1; -1; 2),	В(3; 1; 1),	С(-3; 0; -1)	D(0; 0; -4).
14.	А(1; 1; 3),	В(2;2; 3),	С(2; 1; 1),	D(-2; 3; 4).
15.	А(1; 1; 1),	В(1; -1; 3),	С(-3; 1; -1),	D(-9; 3; 3).
16.	А(1; 1; 2),	В(-1; 1; 1),	С(-1; 2; 2),	D(-2; 4; -1).
17.	А(1; 1; 1),	В(3; 1; 2),	С(1; 0; 0),	D(6; 1; -1).
18.	А(2; 1; 1),	В(2; 2; 2),	С(4; 0; 1),	D(8; 3; -3).
19.	А(1; 1; 1),	В(2; 7; -1),	С(2; 1; 2),	D(3; 2; -2).
20.	А(2; 1; 1),	В(1; 7; -3),	С(1; -1; 1),	D(0; 0; 4).
21.	А(1; 2; 1),	В(2; 4; 1)	С(2; 2; 2),	D(-1; 5; 2).
22.	А(1; 5; 1),	В(-2; 3; 3),	С(3; 3; -2),	D(2; 4; 4).
23.	А(1; 2; -1),	В(-2; 4; 3),	С(3; 4; -2),	D(-2; 5; -1).
24.	А(1; 1; 1),	В(2; 3; 3),	С(0; 3; 1),	D(7; -7; -6).
25.	А(1; 2; 1),	В(2; 4; 3),	С(0; 4; 1),	D(0; 1; 4).
26.	А(1; 1; 3),	В(2; 2; 3),	С(1; 2; 1),	D(4; 0; 2).
27.	А(1; 1; 1),	В(3; 2; 3),	С(2; 2; 1),	D(0; 3; 4).
28.	А(1; 1; 2),	В(2; 2; 2),	С(3; 1; 0),	D(2; -1; 5).
29.	А(2; 1; 1),	B(2; -2; 0),	С(2; 0; 2),	D(-4; 5; 3).
30.	А(1; 1; 2),	В(2; 2; 6),	С(2; 1; 4),	D(2; 4; 1).