Повернемося до загального контракту страхування життя, введеному в розділі 5 теми 5. Резерв чистої премії наприкінці року 
за означенням дорівнює
. (3.1)
Для отримання зв’язку між 
і 
підставимо
(3.2)
у всі, крім перших 
, доданки в (3.1), і замінимо індекс сумування на 
. В результаті співвідношення, яке поєднує і , має вид
. (3.3)
Це співвідношення має таку інтерпретацію: Якщо застрахований живий наприкінці року , то резерв чистої премії, разом з очікуваним поточним значенням премій, підлягає виплаті протягом наступних років, дорівнює сумі, яка необхідна застрахованому для купівлі страхування життя в цей період, плюс вартість контракту на чисте дожиття наприкінці року 
.
Рекурентне рівняння для резерву чистої премії отримується при 
:
. (3.4)
Таким чином, резерв чистої премії можна обчислити рекурентним чином в двох напрямах: 1) Можна обчислити послідовно 
в цій послідовності, починаючи зі значення 
; 2) Якщо контракт має скінчену тривалість 
, то можна обчислити 
в цій послідовності, починаючи з відомого значення 
. Наприклад, в числовому прикладі розділу 2 ми маємо 
для контракту на дожиття і 
для термінового страхування.
Рівняння (3.4) показує, що сума резерву чистої премії в момент і премії дорівнює очікуваному поточному значенню фонду, що необхідний наприкінці року (він дорівнює 
у випадку смерті, інакше - 
). Інша інтерпретація можлива, якщо записати
. (3.5)
Величина необхідна в будь-якому випадку. Додаткова величина, яка необхідна у випадку смерті, 
є чистою ризиковою величиною.
Рівняння (3.5) показує, що премію можна розділити на дві компоненти, 
, де
(3.6)
є премія збережень, що використовується для збільшення резерву чистої премії, і
(3.7)
є премія за терміновим однорічним контрактом для покриття чистої ризикової величини, або ризикова премія. Тому операцію в рік 
можна інтерпретувати як комбінацію операції чистого збереження і термінового однорічного контракту. Ми припускаємо, що застрахований живий в момент .
Помноживши (3.6) на 
и сумуючи по 
, отримаємо
, (3.8)
тобто резерв чистої премії дорівнює накопиченому значенню премій збережень, виплачених від початку контракту.
Розподіл на премію збережень і ризикову премію в числовому прикладі розділу 2 наведено в таблиці
|
| Контракт на дожиття
| Контракт на дожиття
| Терміновий контракт
| Терміновий контракт
|
|
| 
| 
|
|
|
|
| 74.17
| 14.79
| 1.22
| 16.00
|
|
| 75.24
| 13.71
| 0.97
| 16.26
|
|
| 76.43
| 12.53
| 0.70
| 16.53
|
|
| 77.74
| 11.22
| 0.42
| 16.81
|
|
| 79.18
| 9.78
| 0.12
| 17.10
|
|
| 80.77
| 8.18
| -0.19
| 17.41
|
|
| 82.53
| 6.43
| -0.52
| 17.74
|
|
| 84.47
| 4.49
| -0.87
| 18.09
|
|
| 86.60
| 2.36
| -1.24
| 18.46
|
|
| 88.96
| 0.00
| -1.62
| 18.85
|
Записуючи (3.5) в формі
, (3.9)
ми бачимо, що премія плюс відсоток, отриманий від резерву чистої премії, йдуть на зміну (збільшення або зменшення) резерву чистої премії і на забезпечення ризикової премії. Це рівняння є узагальненням співвідношення (6.7) теми 3.
Помноживши (3.5) на 
, ми отримаємо рівняння, аналогічне рівності (3.9):
. (3.10)
Рівняння (3.9) і (3.10) відрізняються тим, що в (3.9) оцінка проводиться в момент , а в (3.10) – в момент .
