3.1 Безтермінове і термінове страхування
Розглянемо контракт безтермінового страхування життя з застрахованою сумою 1, яка виплачується наприкінці року смерті, що забезпечується чистими річними преміями, які ми позначимо 
. Збиток страхувальника дорівнює
. (3.1)
З (1.1) маємо, що
. (3.2)
Записуючи оплату премій у вигляді різниці двох безтермінових аннуітетів (один починається в момент 0, другий – в момент 
), отримуємо
. (3.3)
Тому
. (3.4)
Це рівняння показує, що страхувальник стоїть перед великим ризиком, якщо контракт передбачає чисті річні премії замість чистої одиночної премії.
За допомогою рівняння (3.2) можна отримати дві формули для , яким можна дати корисну інтерпретацію. Поділивши рівняння (2.8) лекції 4 на 
, отримаємо тотожність
. (3.5)
Ця тотожність має таку інтерпретацію: позика суми 1 може бути амортизована щорічними платежами на початку року в розмірі 
. Інший спосіб полягає в попередній виплаті відсотка ( 
) по позиці щорічно і величини 1 в момент : чиста річна премія для відповідного контракту страхування життя дорівнює . Тотожність (3.5) означає, що сукупні річні виплати є рівними в обох випадках.
Співвідношення (3.5) аналогічне іншій тотожності з теорії відсоткових ставок
, (3.6)
яке має подібну інтерпретацію.
Замінивши на 
в (3.2), знаходимо
. (3.7)
Еквівалентну тотожність
(3.8)
можна розуміти таким чином: Покриття 1 можна фінансувати річними преміями ; з іншої сторони, можна уявити, що ми позичили величину 
для оплати чистої одиничної премії. Відсоток по позиці виплачується щорічно на початку року, і позика віддається наприкінці року смерті; річна премія для відповідного контракту страхування життя дорівнює 
. Рівність (3.8) показує, що сумарні річні виплати в обох випадках однакові.
Розглянемо терміновий контракт терміном 
років (застрахована сума 1 виплачується наприкінці року смерті). Його чиста річна премія позначається 
. Збиток страхувальника становить
, (3.9)
або, як в (3.3)
. (3.10)
Чиста річна премія дорівнює
. (3.11)
3.2 Чисте дожиття
Нехай застрахована сума дорівнює 1 і термін дорівнює . Чиста річна премія позначається через 
. Збиток страхувальника дорівнює
. (3.12)
Чиста річна премія, очевидно, дорівнює
. (3.13)
3.3 Дожиття
Чиста річна премія позначається через 
. Рівності
(3.14)
і
(3.15)
очевидні. Збиток страхувальника дорівнює сумі (3.9) і (3.12).
По аналогії з (3.5) і (3.8) ми маємо
, (3.16)
, (3.17)
з відповідною інтерпретацією. Рівняння (3.17) можна також отримати додаванням співвідношень
, (3.18)
, (3.19)
кожне з яких має інтерпретацію, яка аналогічна (3.8).
3.3 Відкладені аннуітети життя
Чиста річна премія, яка виплачується протягом виплачуваного протягом обраного періоду для аннуітету життя суми 1, що починається в момент , дорівнює 
.
4. Премії, які виплачуються 
разів на рік
Якщо чиста річна премія виплачується рівними долями, верхній індекс « 
» додається до відповідних символів. Чисті річні премії
отримуються заміною 
на 
в знаменниках співвідношень (3.2), (3.11), (3.13), (3.14). Чиста річна премія контракту дожиття з сумою 1 дорівнює, наприклад,
. (4.1)
Цей вираз можна підрахувати за допомогою формули (3.9) теми 4.
Для порівняння 
з підставимо в (4.1) рівності
, (4.2)
(4.3)
і отримаємо
. (4.4)
Якщо записати останній результат в формі
, (4.5)
то стає зрозумілою нерівність 
.
Аналогічний результат справедливий для інших контрактів
, (4.6)
, (4.7)
. (4.8)
Рівняння (4.6) є граничним випадком (4.5) при 
. Рівняння (4.5) є сумою рівнянь (4.7) і (4.8).
