Рекурсивні формули

Рекурсивні формули можуть бути використані для написання алгоритмів і, крім цього, вони мають цікаву теоретичну інтерпретацію.

Почнемо з безтермінового контракту страхування одиничної суми з виплатою наприкінці року смерті. Очевидно, справедливим є рівняння

. (6.1)

Таким чином, значення можуть бути знайдені рекурсивно, починаючи з максимально можливого віку. Рекурсивне рівняння може бути доведене алгебраїчно підстановкою співвідношення

(6.2)

у всі доданки, крім першого, суми (2.3). Імовірнісне доведення може бути побудоване на властивості

. (6.3)

Змістовна інтерпретація (6.3): чиста одиночна премія для віку дорівнює очікуваному значенню випадкової змінної, визначеної як дисконтована сума страхування у випадку смерті протягом року, і дисконтової чистої одиночної премії для віку у випадку виживання.

Друга інтерпретація також стає очевидною, якщо ми запишемо (6.1) у вигляді

. (6.4)

Перш за все, кількість потрібно зарезервувати в будь-якому випадку (смерть чи виживання). У випадку смерті додаткова сума необхідна для забезпечення виплати. Чиста одиночна премія термінового контракту терміном на 1 рік з такою страховою сумою дорівнює .

Застосувавши (6.4) до віку , ми отримаємо

, . (6.5)

Помноживши попереднє рівняння на і сумуючи за всіма значеннями , отримуємо

, (6.6)

так що чиста одиночна премія для віку , очевидно, дорівнює сумі чистих одиночних премій серії термінових однорічних контрактів.

Рівняння (6.4) можна також записати у вигляді

. (6.7)

Таким чином, дохід по відсотку має подвійну дію: з однієї сторони він збільшує чисту одиночну премію (від віку до віку ), с іншої сторони, він покриває терміновий фіктивний однорічний контракт.

Неперервним аналогом рекурсивної формули є диференційне рівняння. Розглянемо , яке є очікуваним значенням для . При ми маємо

. (6.8)

Звідси

. (6.9)

Поділивши на і спрямовуючи , отримуємо

. (6.10)

Це рівняння можна переписати в формі, аналогічній (6.7):

. (6.11)

Диференційне рівняння має аналогічну (6.7) інтерпретацію для нескінченно малого інтервалу часу, що очевидно при множенні (6.11) на .