Ймовірності смерті для частин року

Розподіл для і суміжні величини можуть бути підраховані, виходячи з таблиці життя. Наприклад,

, , (6.1)

з (1.8). Для отримання розподілу з допомогою інтерполяції повинні бути зроблені припущення про ймовірності смерті , або силі смертності для проміжних значень віку ( ціле і ).

Ми вивчимо такі три ситуації.

Ситуація А: лінійність

Якщо припустити, що - лінійна функція від , інтерполяція між 0 і 1 дає

. (6.2)

Ми бачили в розділі 2.4, що це відповідає випадку, коли та незалежні, і рівномірно розподілене між 0 і 1. Тоді

(6.3)

і (2.5) дає

. (6.4)

Ситуація Б: є сталою

Часто використовується припущення про те, що сила смертності є сталою на кожному одиничному інтервалі. Позначимо стале значення ( ) через . Використовуючи (2.5), отримаємо

. (6.5)

Звідси маємо, що

. (6.6)

З (4.6) отримуємо

. (6.7)

Таким чином, умовний розподіл для при заданому є вкороченим експоненціальним розподілом і залежить від . Випадкові змінні і в цьому випадку не є незалежними.

Ситуація В: лінійність

Ця гіпотеза, відома в Північній Америці як припущення Бальдуччі (Balducci), визначає

. (6.8)

Звідси маємо

. (6.9)

З використанням (2.5) отримуємо

, (6.10)

звідки

. (6.11)

Звідси видно, що при гіпотезі Бальдуччі випадкові змінні і не є незалежними.

При кожному з трьох припущень сила смертності є розривною в цілих точках. Більш незвичайним є той факт, що при припущенні Бальдуччі сила смертності спадає між послідовними цілими, див. (6.10).

При обидві величини (6.7) і (6.11) прямують до . Таким чином, якщо ймовірності смерті є малими, «приблизно» рівномірно розподілена і не залежить від (навіть в припущеннях Б чи В).