При анализе динамических свойств САР обычно вводят понятие типового звена, представляющего собой простейшую составную часть динамического элемента.
Динамическим звеном называют элемент системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением нулевого, первого или второго порядка.
Различают шесть типов динамических звеньев:
пропорциональные (усилительные, безинерционные);
апериодические (инерционные);
колебательные;
интегрирующие; дифференцирующие;
запаздывающие.
Пропорциональными называют такие звенья, у которых уравнения динамики не отличается от уравнений статики. В этих звеньях приращение выходной величины прямо пропорционально приращению входной: Хвых=К*Хвх.
Динамическим параметром пропорционального звена является коэффициент передачи. График переходного процесса для этого звена ( переходная характеристика , показывающая , как изменяется выходная величина при единичном ступенчатом воздействии на входе ) показан на рис.
Примером пропорциональных звеньев могут служить рычаги, редукторы, электронные лампы, тахогенераторы постоянного тока, у которых входной величиной является угловая скорость вала w, а выходной - э. д. с. якоря (Хвых = Uвых) и т. п.Коэффициент передачи усилительного звена, представляющей собой отношение приращений выходной и входной величин, - величина размерная.
Когда входная и выходная величины элемента имеют одинаковую физическую природу, то коэффициент передачи будет безразмерным. Например, для тахогенератора коэффициент передачи:
К= Хвых/Х вх = Uвых / w
и выражается в В/ рад/с.
Для редуктора, у которого и выходной и входной величиной является угол поворота,
К=Хвых / Хвх = j вых / jвх - величина безразмерная.
Передаточная функция пропорционального звена , является отношением изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины , равна его коэффициенту передачи:
W(p)= K.
Апериадическим звеном называется динамический элемент, у которого связь между входной и выходной величинами описывается дифференциальным уравнением:
Т dХвых / dt + Хвых = К*Х вх.
Передаточная функция апериодического звена:
W (p)= K/(Tp+1).
Динамическими параметрами такого звена являются постоянная времени Т икоэффициент передачи К. В установившемся режиме dXвых / dt =0.
Постоянная Т в данном случае представляет собой промежуток времени, в течение которого выходная величина изменяется от нуля до установившегося значения, при условии, что скорость нарастания ее остается неизменной. Постоянная времени характеризует инерционность элемента. Переходная характеристика приведена на рис.
Для обмотки возбуждения электрической машины, входной величиной которой является приложенное напряжение , а выходной- ток , протекающий по ней , постоянная времени находится из выражения :
Т =L / R,
где: L- индуктивность обмотки, Г;
R- ее активное сопротивление, Ом.
Колебательным звеном называется динамический элемент, у которого связь между входной и выходной координатами описывается дифференциальными уравнениями:
2 2 2
Т 21d Xвых /dt + Т 22dХвых/dt+ Xвых = К Х вх
или
2 2
d Хвых / dt + 2xwo dXвых / dt + wo Xвых = К w0 Хвх,
где Т2 =2xТ1 при условии , что степень успокоения звена x < 1.
Передаточная функция колебательного звена:
2 2
W(p ) =K / ( T1 p + T2p +1).
Динамическими параметрами колебательного звена являются постоянная T1 ( или собственная частота незатухающих колебаний звена w0 = 1 / Т ) , степень успокоения x
( или коэффициент затухания a =x / T1 =xw0 ) и коэффициент усиления К.колебательное звено, у которого a = x = 0 , иногда называют консервативным.
Переходная характеристика колебательного звена приведена на рис.
Xвх,Хвых
Хвых
А
a1 a2
В Хвх
t
T
В консервативном звене колебания не затухают и имеют угловую частоту wо.
К интегрирующим звеньям относятся элементы САР, у которых связь между входной и выходной величинами во время переходного процесса описывается уравнениями:
ó
Тхвых= ô Хвх d t,
õ
или
dXвых / dt = Хвх / Т = К Хвх,
Передаточная функция этого звена:
W ( p ) = K / p = 1 / T p.
Интегрирующее звено характеризуется одним динамическим параметром - коэффициентом передачи К, представляющим собой отношение скорости изменения выходного сигнала к величине входного сигнала, или постоянной времени Т = 1/ К. В интегрирующем звене нет определенного соотношения между установившимися значениями входной и выходной величин. При постоянном значении входной величины выходная величина непрерывно растет с постоянной скоростью.
Хвх,Хвых
Хвых
Хвх
В
j t
Примером конструктивного выполнения интегрирующего звена может служить двигатель постоянного тока , работающий в холостую , у которого входной величиной является напряжение на якоре ( Хвх = U ), а выходной - угол поворота вала двигателя (Хвых= j ).
Коэффициент передачи двигателя находится из уравнения:
К= ( dХвых / dt ) / Xвх = d j / dt / U = w / Ke Фw = 1 / Ke Ф,
где: Ке - машинная постоянная , 1/рад;
Ф - магнитный поток двигателя , Вб.
Дифференцирующим называется такое звено , у которого выходная величина Хвых пропорциональна скорости изменения входной величины. Различают несколько типов дифференцирующих звеньев - идеальное , реальное, первого и второго порядка.
Идеальное дифферицирующее звено описывается уравнением :
Х вых =К dХвх / dt
и имеет передаточную функцию
W ( p ) = K p.
Уравнение динамики для реального дифференцирующего звена записывается так :
Т dХ вых + Х вых = К dХвх / dt.
Передаточная функция функция этого звена:
W( p ) = K p / Tp + 1.
Дифферинцирующее звено первого порядка , описывается уравнением :
2 2 2
Хвых = К ( Т dХвх / dt + 2xT dХвх /dt + Хвх ),
и должно иметь комплексные сопряженные корни характеристического уравнения правой части.
При действительных корнях элемент САР будет эквивалентен не дифференцирующему звену второго порядка , а двум последовательно соединенным дифференцирующим звеньям звена второго порядка .
передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка:
W (p ) = K ( T p +2xTp +1 ).
Переходная характеристика реального дифференцирующего звена приведена на рис.
Хвх,Хвых
A
B Х вх
Хвых t
0 C
В общем случае дифференцирующее звено характеризуется тремя динамическими параметрами - коэффициентом передачи К, постоянной времени Т и коэффициентом x.
Для идеального дифференцирующего звена, в качестве которого можно рассматривать тахогенератор постоянного тока ,
Хвых = Uвых = КеФ dj / dt +Ke Ф dХвх / dt = K d Xвх / dt,
где: j- входная величина ( угол поворота вала );
Хвых= Uвых - выходная величина ( э.д.с. якоря ) .
Коэффициент передачи в данном случае измеряется в В с / рад : К = КеФ.
Запаздывающим называется звено , в котором выходная величина воспроизводит изменение входной величины без искажения ,но с не которым постоянным запаздыванием t . Это звено описывается уравнением:
Хвых (t ) = Хвх ( t - t ) .
Динамическим параметром звена является величина запаздывания t.
Передаточная функция звена запаздывания:
-pt
W ( p ) = e ,
Переходная характеристика запаздывающего звена:
Хвх, Хвых
Хвх Хвых
В
t
t
Примером запаздывающего звена может служить транспортер. Его загружают с одного конца , а нагрузку измеряют конвейерными весами , находящимися на некотором расстоянии от пункта загрузки. Входной величиной здесь является комичество материала , поступающего на конвейер , а выходной - показание весов. В данном случае входная величина передается на выход без искажения , но с отставанием времени. Такое запаздывание называется транспортным ( чистым ).Оно имеет также место в длинных трубопроводах для жидкостей и газов.
Величина транспортного запаздывания для конвейеров и трубопроводов жидкостей подсчитывается по формуле:
t =l / v ,
где: l -длина конвейера (трубопровода), м;
v- скорость движения конвейерной ленты (жидкости), м/с.
