Рівняння неперервності

Розглянемо в деякому середовищі, в якому тече струм, уявну замкнену поверхню S. Вираз дає заряд, який виходить за одиницю часу з об’єму V, обмеженого поверхнею S.

В силу закону збереження заряду, ця величина повинна дорівнювати швидкості зменшення заряду Q, який знаходиться в даному об’ємі.

.

Але . Підставимо це значення заряду в попереднє рівняння.

. (7.8)

Рис.7.1

Під знаком інтегралу частинна похідна густини по часу, оскільки густина може залежати не тільки від часу, але й від координати розглядуваної поверхні в просторі. Перетворимо ліву частину (7.8) за теоремою Гауса:

. (7.9)

Рівняння (7.9) повинно виконуватися при будь-якому вибраному об’ємі, за яким ведеться інтегрування, а це можливо лише, якщо в кожній точці простору виконується наступна умова:

. (7.10)

Вираз (7.10) називають рівнянням неперервності. Воно виражає собою закон збереження електричного заряду.

В точках, які є джерелами вектора густини струму, відбувається зменшення заряду і в тому випадку, коли струм стаціонарний, потенціал в різних точках, густина заряду та інші величини будуть незмінні. Тому для постійного струму рівняння (10):

. (7.11)

Тобто у випадку постійного струму вектор густини струму не має джерел, а це означає, що лінії струму ніде не починаються і ніде не закінчуються, тобто завжди замкнуті. Тобто

.

Рис. 7.2