Нехай, поле створене нескінченною циліндричною поверхнею радіусом R і ця поверхня заряджена з постійною поверхневою густиною σ. З міркувань симетрії слідує, що напруженість поля в будь-якій точці направлена вздовж прямої, перпендикулярної осі циліндра. Величина напруженості не залежить від відстані r від осі циліндра.
Уявимо деяку коаксіальну замкнуту циліндричну поверхню радіуса r і довжини h.
Для основи циліндра En=0. Напруженість електричного поля в даному випадку перпендикулярна до поверхні циліндра.
Для бічної поверхні циліндра En=E(r).
Вважатимемо, що заряд позитивний.
З даного слідує, що потік Е через бічну поверхню чисельно дорівнює 
.
Рис.3.4
Якщо даний радіус r>R, всередину даної поверхні попаде весь заряд Q, який буде чисельно дорівнювати добутку лінійної густини даного заряду на довжину циліндра h.
Q=τh,
(τ – лінійна густина заряду).
Використаємо теорему Гауса:
;
. (3.3)
Формула (3.3) справедлива при r ≥R.
Якщо r<R, то замкнута поверхня не має всередині зарядів, внаслідок чого Е(r)=0.
Таким чином, всередині рівномірно зарядженої циліндричної поверхні нескінченної довжини поле відсутнє. Напруженість ззовні поверхні визначається лінійною густиною τ і відстанню r від осі циліндра.
Поле негативно зарядженого циліндра відрізняється від поля позитивно зарядженого циліндра лише напрямом вектора напруженості, але не його величиною.
З формули (3.3) слідує, що зменшуючи радіус циліндра R при незмінній лінійній густині заряду можна отримати поблизу поверхні циліндра поле з дуже великою напруженістю. Підставивши (3.3) в умову, що 
і уявивши, що r=R, отримаємо для напруженості поля безпосередньо біля поверхні циліндра
. (3.4)
За допомогою принципу суперпозиції можна знайти поле двох коаксіальних циліндричних поверхонь з однаковою по величині але різною за знаком лінійною густиною τ. Тоді поле знаходиться між поверхнями.
Всередині меншого і ззовні більшого циліндрів поле відсутнє, а між циліндрами величина напруженості визначається за допомогою формули (3.3).
Це справедливо також для циліндричних поверхонь скінченої довжини, якщо відстань між поверхнями набагато менша їх довжини (циліндричний конденсатор). Відхилення помітні лише поблизу країв циліндра.
Рис. 3.5
3.5. Поле сферично зарядженої поверхні
Поле, створене сферичною поверхнею радіуса R, яка заряджена з поверхневою густиною σ буде центральносиметричним. Тобто напрям вектора напруженості в будь-якій точці, що проходить через центр сфери є функцією відстані R від центра сфери.
Уявимо концентричну поверхню радіуса r.
Для всіх точок цієї поверхні En=E(r).
Якщо r>R – всередину даної поверхні попаде весь заряд Q, розподілений по поверхні сфери і тому можна записати теорему Гауса:
.
З даного рівняння
, (r ≥R). (3.5)
Сферична поверхня радіуса r меншого ніж R не буде мати зарядів, внаслідок чого для випадку r<R
Еn(r)=0.
Таким чином всередині сферичної поверхні з постійною поверхневою густиною поле відсутнє, ззовні даної поверхні поле тотожне з полем точкового заряду тієї ж величини, розміщеного в центрі сфери.
Використовуючи принцип накладання полів можна показати, що поле двох сферичних поверхонь, які несуть однакові заряди, але з протилежними знаками, буде знаходитись в проміжку між поверхнями, причому величина напруженості буде визначатися за формулою Е.
Рис.3.6
3.6. Поле об’ємно зарядженої кулі
Нехай куля радіусом R заряджена з постійною об’ємною густиною заряду ρ. Поле в даному випадку володіє центральною симетрією.
Для поля зовні кулі маємо той самий результат, що і для сферичної поверхні – рівняння (3.5). Але для точок всередині кулі результат інший.
Сферична поверхня (r<R) заключає в собі заряд
.
Тому теорема Гауса для такої поверхні набуде вигляду:
.
Об’ємна густина заряду 
. Підставимо це значення в попередню формулу. Тоді
, (r≤R).
Таким чином, всередині кулі напруженість зростає лінійно з відстанню r до центра, а зовні кулі – спадає із збільшенням відстані r.
Рис. 3.7
Лекція 4
