2.4.1. Закон розподілу Больцмана
Розглянемо розподіл мікрочастинок за енергіями на прикладі ідеального газу, що знаходяться в полі тяжіння: нехай сили поля напрямлені вздовж осі z.
Рис. 1
Тиск газу в різних точках вздовж цієї осі буде різним. Виберемо дві площини 
, причому 
. Ці площини орієнтовані перпендикулярно до осі z і знаходяться на відстані dz одна від одної. Якщо тиск газу на обох площинах буде чисельно дорівнювати p i p+dp, то різниця тисків dp чисельно дорівнює сумарній силі, що діє на частинки газу, що знаходяться в об’ємі даного паралелепіпеда з основою S і висотою dz відносно до площі даної основи:
,
n – концентрація молекул в даному об’ємі;
- сила, що діє на 1моль в точці з координатою z.
Дана сила пов’язана з потенціальною енергією молекули співвідношенням:
.
Таким чином, додатковий тиск dp чисельно дорівнює:
.
Приймаючи температуру ідеального газу у всіх точках однаковою, на основі рівняння Менделєєва-Клайперона, знаходимо, що:
.
Співставляючи два останні рівняння:
.
Проінтегрувавши і пропотенціювавши даний вираз, отримаємо:
. (1)
Рівняння (1) називають законом розподілу Больцмана.
В даному рівнянні 
і n- концентрації молекул газу в стані з відповідно прийнятою нульовою потенціальною енергією і деякою 
в стані 1.
Рівняння може бути отримане з більш загальних міркувань. Воно має універсальний характер, бо використовується для будь-яких систем з мікрочастинок, що знаходяться в різних потенціальних полях. Наприклад, для поля тяжіння Землі на великій висоті:
. (2)
Для двох різних станів з потенціальними енергіями 
, отримаємо:
. (3)
Так як тиск газу пов’язаний з концентрацією молекул рівнянням p=nkT, то на основі рівняння (2), запишемо:
. (4)
Тиск p і тиск 
:
- тиск на поверхні Землі;
p - на висоті z над Землею;
- молярна маса газу.
Рівняння (4) – барометрична формула.
2.4.2. Закон розподілу Максвела
Рис. 2
Теплова або середня квадратична швидкість 
представляє собою середню характеристику теплового руху усієї сукупності мікрочастинок. В дійсності, всі мікрочастинки рухаються з різними швидкостями і можна поставити питання про розподіл мікрочастинок за швидкостями.
Максвел вирішив цю задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями постійного руху в стані теплової рівноваги. Він показав, що вірогідність того, що деяке число молекул dN із загального числа молекул N володіє швидкостями, що лежать у інтервалі від 
до 
. Виражається дана вірогідність відношенням:
, (5)
f(v) - функція розподілу молекул за швидкостями;
dv - інтервал швидкостей, що розглядається.
Вигляд функції можна встановити на прикладі руху молекул ідеального газу в однорідному полі тяжіння. Спочатку розглянемо закон розподілу молекул по значенням вертикальної складової швидкості. Число молекул , що знаходяться в безкінечно тонкому шарі газу на висоті z, товщина dz:
,
n(z) – концентрація молекул газу на висоті z.
Рухаючись як вільні, дані молекули через деякий інтервал часу перейдуть на висоту 
і займуть шар 
. При цьому, їх швидкості будуть лежати в інтегралі від 
до 
, але одне і те ж число молекул. Якщо прийняти, що 
, то незмінність числа цих молекул виражається:
, (6)
- концентрація молекул газу на висоті .
При русі в полі тяжіння горизонтальні складові швидкості 
не будуть змінюватись, а зміна 
визначається законом збереження енергії, згідно якого:
.
Якщо продиференціювати це рівняння, при вибраних сталих значеннях 
, отримаємо:
.
За час dt молекула на висоті z пройде шлях 
, а на висоті , пройде шлях 
.
Якщо виключимо елементарний час dt, то:
. (7)
Перемножимо почленно рівняння (6) і (7) і знайдемо:
.
Із урахуванням останнього виразу, рівняння (5) спрощується і приймає вигляд:
.
Використовуючи закон Больцмана у вигляді рівняння (2), отримаємо:
.
На основі закону збереження і перетворення енергії, знаходимо, що:
.
Тоді:
Звідси слідує, що:
. (8)
В стані теплової рівноваги рух молекул газу буде рівновигідним по всіх напрямках.
Так як вірогідність складної події, яка складається з незалежних подій, рівна добутку вірогідностей цих подій, то повні функція розподілу молекул за швидкостями буде мати вигляд:
.
Тоді:
. (9)
З урахуванням рівняння (9), запишемо рівняння (5):
, (10)
- об’єми нескінчено малого паралелепіпеда, що побудований в координатній системі простору швидкостей навколо точки з векторною координатою 
.
Так як тепловий рух молекул газу рівновірогідний у всіх напрямках, для визначення відношення 
необхідно просумувати усі елементарні об’єми, що знаходяться на відстані 
і ці об’єми заповнять шаровий прошарок між 2 нескінчено-близькими сферами з радіусами v i v+dv.
Об’єм такого шару:
.
Таким чином, число молекул з швидкостями в інтервалі від v до v+dv буде чисельно дорівнювати:
, (11)
- деяка стала, що не залежить від швидкості молекул.
Знайдемо вираз величини А. Так як інтервал швидкостей від нуля до нескінченності охоплює всі молекули, то очевидно, що інтеграл:
,
тоді:
.
Якщо зробити заміну змінних 
і скористатися значенням, що 
, то знайдемо:
.
З урахуванням цього, закон розподілу Максвела:
. (12)
Графік функції рівняння (9) представляє собою Гаусову криву розподілу випадкової кривої:
Рис. 3
Густина вірогідності розподілу молекул по швидкостям буде мати вигляд:
Рис. 4
Як слідує з даного рівняння, при кожній температурі є деяка швидкість, яка має найбільше число молекул (цю швидкість називають найбільш вірогідною). Знайдемо вираз для цієї швидкості з урахуванням рівняння (12), дослідивши дане рівняння на екстремуми. Скоротивши в рівнянні (12) сталі величини і проінтегрувавши, отримаємо:
.
Звідси знаходимо вірогідну швидкість:
. (13)
Середня арифметична швидкість молекул:
.
Стан газу можна характеризувати однією з трьох швидкостей:
- вірогідною;
- середньою арифметичною;
- середньою квадратичною.
Наприклад:
p,V – тиск і об’єм.
Співвідношення між цими швидкостями:
.
