Розмірність Хаусдорфа

Побудова розмірності Хаусдорфа має деякі подібності з конструкцією розмірності Мінковського. Почнемо з формули для d-міри кулі в , а потім апроксимуємо d-міру довільної множини А сумою d-мір куль, які покривають А. Тепер ми будемо розглядати покриття множини А r-кулями, де Множина А має додатню d-міру Мінковського при d=1/2, але характеризується нульовою d-мірою Хаусдорфа при довільному d > 0.

Розглянемо послідовність куль з радіусами ,які покривають А.Ми апроксимуємо d-міру Хаусдорфа множини А сумою Введемо

де точна нижня границя шукається за всіма такими покриттями множини А. Визначимо d-мірну зовнішню міру множини А як

Границя в даному визначенні існує завжди, так як спадає при

Наведемо деякі властивості .

1. Якщо то .

2. субадитивна, тобто

3. Якщо то співпадає із зовнішньою мірою в сенсі Лебега. Це твердження не справедливе, якщо Але тим не менше, d-міра множини дорівнює 0 в том випадку і тільки в тому випадку, коли зовнішня міра Лебега дорівнює 0.

Теорема.Довільній множині відповідає єдине число d, що називається розмірностю Хаусдорфа множини А, для якого

Це число, яке позначимо як , задовільняє співвідношенню: