Тема 8: Ряды динамики

Общественные явления изменяются не только в пространстве, но и во времени.

Ряд динамики – это ряд статистических показателей, характеризующих изменение явления во времени. Состоит ряд динамики из уровней, которые отражают объем явления или за определенный период времени (интервал), или на определенный момент времени. В связи с этим различают два вида рядов динамики: интервальные и моментные. При анализе рядов динамики, особенно в длительной динамике, необходимо обеспечивать сопоставимость данных. Сопоставимость должна обеспечиваться по следующим направлениям:

1. По территории.

2. По кругу охватываемых учетом объектов.

3. По времени исчисления показателей.

4. По методике исчисления показателей.

Если по каким-либо причинам сопоставимость нарушена, то при анализе необходим предварительный перерасчет показателей для приведения их в сопоставимый вид.

При анализе рядов динамики производится сопоставление уровней (У) ряда динамики.

При этом каждый последующий уровень может сравниваться или с каждым предыдущим уровнем (цепные показатели динамики), или с одним уровнем, принятым за базу сравнения (базисные показатели динамики).

На основе уровней можно получить следующие показатели динамики.

1. Абсолютный прирост (А) – характеризует абсолютную величину изменения явления во времени.

-цепные: А₁ = У₁-У₀; А₂=У₂-У₁; А₃=У₃-У₂ ; ........; А_n=У_n-У_n-1.

-базисные: А₁ = У₁-У₀; А₂=У₂-У₀; А₃=У₃-У₀ ; ........; А_n=У_n-У₀.

2. Коэффициент роста (К) – характеризует относительную скорость изменения явления в динамике.

-цепные:

-базисные:

3. Темп прироста (Т).

4. Значение 1% прироста (П) – характеризует весомость 1% прироста.

После преобразований получаем:

Для обобщенной характеристики исходных уровней и показателей рядов динамики необходимо определить средние показатели:

1. Средний уровень ряда динамики :

а) В интервальном ряду с равными интервалами вычисляется по формуле средней арифметической простой.

, где n- число уровней ряда динамики.

б) В интервальном ряду с неравными интервалами вычисляется по средней арифметической взвешенной.

, где t_i – продолжительность интервала.

в) В моментном ряду динамики с равными отрезками времени между датами – по формуле средней хронологической.

, где n- число уровней.

г) В моментном ряду динамики с неравными отрезками времени между датами – по средней хронологической взвешенной.

, где t_i - продолжительность времени между моментами.

д) В моментном ряду, когда известны данные только на начало и конец периода – по формуле средней арифметической простой.

.

2. Средний абсолютный прироствычисляется по средней арифметической простой.

, где( n -1)– число цепных абсолютных приростов.

3. Средний коэффициент роставычисляется по средней геометрической.

, где (n-1) – число цепных коэффициентов роста.

4. Средний темп прироста.

Если в рядах динамики имеется большое варьирование имеющихся уровней, то при простом сопоставлении уровней затруднительно сделать вывод об основном направлении развития явления в динамике, такие же показатели, как средний абсолютный прирост, средний коэффициент роста, определяются только последним и начальным уровнями, поэтому могут дать искаженное представление о действительном характере динамики. На развитие явления в динамике оказывают влияние две группы факторов: факторы постоянные, которые и определяют тенденцию развития явления в динамике, и факторы случайные, которые приводят к сильной вариации уровней, что приводит к затушевыванию тенденции развития, и она наглядно не проявляется. Для проявления основной тенденции развития статистика использует ряд специальных методов выравнивания рядов динамики, основная задача которых – снять влияние случайных факторов на вариацию уровней и проявить основную тенденцию развития.

Методы выравнивания рядов динамики

1.Метод укрупнения периодов

Его суть состоит в выделении качественно различных периодов и характеристикой этих периодов средними уровнями. Основным требованием при определении периодов является учет их качественного своеобразия, чтобы при определении уровней происходило погашение случайных колебаний. Как правило величина периода определяется цикличностью воздействия случайных факторов. Например, исходный ряд динамики имеет n уровней – У₁;У₂;У₃;……..;У_n. Период укрупнения равен 5. Тогда:

и т.д.

Вывод о тенденции развития основывается на сопоставлении между собой средних уровней: и т.д.

2. Метод скользящей средней

В основе этого метода лежит метод укрупнения периодов, т.е. расчет среднего уровня. Только при этом методе средние уровни по периодам рассчитываются не последовательно друг за другом, а путем расчета средних за периоды, сдвинутые на одну дату. При этом достигается взаимное погашение случайных колебаний отдельных уровней динамического ряда и полученный ряд средних характеризует закономерные изменения уровней, т.е. тенденцию. Расчет средних периодов производится следующим образом (при периоде скольжения 5 лет):

и т.д.

При этом методе интервал должен быть достаточным для погашения случайных колебаний. Чем длиннее интервал скольжения, тем в большей мере выравнивается ряд.

3. Выравнивание ряда динамики по среднему абсолютному приросту

Этот метод основан на предположении, что каждый последующий уровень изменяется по сравнению с предыдущим на одинаковую величину, равную среднему абсолютному приросту. Так как на практике такое изменение происходит довольно редко, то это и является основным недостатком этого метода. Поэтому его можно применять для ряда динамики, имеющего примерно одинаковые цепные абсолютные приросты.

Уравнение, отражающее тенденцию развития, в данном случае имеет вид:

, где

- выровненные уровни,

У₀ – начальный фактический уровень ряда,

- средний абсолютный прирост,

t – порядковый номер даты(0;1;2;……..;n).

На графике выровненный ряд выражается прямой линией, соединяющей начальный и конечный уровни динамического ряда.

4. Выравнивание динамического ряда по среднему коэффициенту роста

Этот метод основан на замене фактических уровней на расчетные, определенные по формуле:

, где

- средний коэффициент роста.

5. Выравнивание ряда динамики по способу наименьших квадратов

Суть его заключается в отыскании уровня кривой, которая наиболее точно отражает основную тенденцию изменения уровней в зависимости от времени (t). Параметры уравнения находят способом наименьших квадратов. Уравнение выравнивания называется трендом и может выражаться различными функциями – линейной, показательной, параболы и т.д. Выбор уравнения является отдельной самостоятельной задачей выравнивания. В основе выравнивания по способу наименьших квадратов лежит требование минимума суммы квадратов отклонений фактических уровней от их значений, рассчитанных по какому-либо математическому уравнению, т.е.

, где

У_i – фактические уровни,

- уровни, вычисленные по уравнению.

Этому требованию соответствует система нормальных уравнений, которая строится путем умножения исходного уравнения на коэффициенты при неизвестных параметрах уравнения и суммированием произведений по всем наблюдениям.

Построим систему нормальных уравнений для уравнения прямой и параболы:

-прямая:

- парабола , где

а₀ ,а_{1 ,}а₂ – неизвестные параметры уравнения.

t – порядковый номер года.

Прямая линия.

Так как коэффициент при а₀ равен 1, то первое уравнение будет иметь вид:

,где

n – число наблюдений.

Коэффициент при втором неизвестном равен t, поэтому после умножения и суммирования второе уравнение будет иметь вид:

Таким образом, получим систему из 2 уравнений.

Решая данную систему, находим неизвестные параметры и уравнение выравнивания.

Парабола.

Первое уравнение параболы аналогично прямой линии и оно будет иметь вид:

Аналогично получаем и второе уравнение:

Третье уравнение получаем умножением на коэффициент при третьем неизвестном - и суммированием:

Таким образом, получаем систему из 3 нормальных уравнений:

Чтобы решить вопрос о том, использование какого уравнения дает лучший результат, сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических (фактических) уровней от теоретических, рассчитанных по разным уравнениям. При каком уравнении меньше , тем наиболее точно это уравнение отражает тенденцию.

Если число параметров уравнения разное, то сравнивают остаточные средние квадратические отклонения σ_ост.

σ_ост = ,

где m – число параметров уравнения (прямая – 2, парабола – 3)

В некоторых рядах динамики отмечаются и периодические внутригодовые колебания. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели сезонности, определяемые как процентные отношения месячных уровней к среднегодовому и показатели вариации.

Пример 1

Имеется ряд динамики об изменении выпуска продукции «А» на предприятии за последние шесть лет. Требуется рассчитать показатели динамики.

Выпуск продукции «А» на предприятии, тыс.ед.

1. Абсолютные приросты:

А₁=У₁ – У₀ = 20,6 – 20,0 = 0,6 тыс. ед.

А₂ = У₂ – У₁ = 21.8 – 20,6 = 1,2 тыс.ед. и т д.

2. Коэффициенты роста:

К₁ =

К₂ = и т.д.

3. Темпы прироста:

Т₁ =

Т₂ = и т.д.

4. Значения 1% прироста:

П₁ = ц.к.ед.

П₂ = ц.к.ед. и т.д.

5. Средний уровень ряда динамики:

тыс. ед.

6. Средний абсолютный прирост:

тыс. ед. или

тыс..ед.

7. Средний коэффициент роста:

или

8. Средний темп прироста:

Анализ: объем производства продукции «А» ежегодно увеличивался и достиг 23,0 ц. тыс. ед. в 2006 году. Средний ежегодный прирост составил 0,6 тыс. ед., при этом максимальный прирост был в 2003 году – 1,2 тыс.ед., а минимальный - в 2002 году и составил 0,1 тыс.ед. Среднегодовой темп роста за анализируемый период составил 2,8%, значение 1% прироста возросло с 0,20 тыс. ед. в 2002 г. до 0,23 тыс. ед. в 2006г.

Пример 2

Имея ряд динамики производства продукции «А» на предприятии (тыс. ед.) определить основную тенденцию его изменения. Для этого провести выравнивание ряда динамики различными методами.

1) По методу укрупнения периодов и скользящей средней.

Примем период укрупнения 3 года и проведем выравнивание.

Динамика производства продукции «А» на предприятии

Выравненные ряды динамики по обоим методам показывают тенденцию увеличения производства продукции, а также величины прироста этого уровня. При этом при выравнивании по методу укрупнения периодов число выравненных уровней значительно меньше числа уровней в исходном ряду динамики. Число скользящих средних уровней также меньше на m-1. где m - период укрупнения. Но их больше чем средних уровней, что позволяет более аргументировано делать вывод о тенденции уровня производства продукции.

2) По среднему абсолютному приросту и по среднему коэффициенту роста.

Проведем выравнивание приведенного выше ряда динамики по среднему абсолютному приросту и по среднему коэффициенту роста, которые были рассчитаны ранее и составили: и

Динамика производства продукции «А» на предприятии

Годы	Порядковый номер года t	Производство продукции, тыс. ед.	По	По
Производство продукции, тыс. ед.	отклонение от факта	Производство продукции, тыс. ед.	отклонение от факта
		20,0	20,0	0,0	20,0	0,0
		20,6	20,6	0,0	20,6	0,0
		21,8	21,2	-0,5	21,1	-0,7
		21,9	21,8	-0,1	21,7	-0,2
		22,8	22,4	-0,4	22,3	-0,5
		23,0	23,0	0,0	23,0	0.0

Используем для выравнивания формулы:

Подставим в первую формулу значения t и получим:

и т.д.

Подставим во вторую формулу значения t и получим:

и т.д.

При изображении графически выровненного ряда по будет прямая, соединяющая начальный и конечный уровня фактического ряда динамики. А по - кривая, также соединяющая начальный и конечный уровни фактического ряда динамики. Отклонения от фактического ряда показывают, что выровненный ряд по в большей мере приближается к фактическому ряду динамики.

3) Выравнивание по способу наименьших квадратов.

Проведем аналитическое выравнивание приведенного выше ряда динамики по уравнениям прямой линии и параболы по формулам:

Для облегчения расчетов присвоим порядковый номер года t = 1 году, находящемуся близко к середине ряда (2003), отклонения от него вверх: -1,-2; вниз: 1,2,3.

Решим систему нормальных уравнений для нахождения неизвестных параметров а₀ и а₁ при выравнивании по прямой.

Расчеты для определения параметров уравнения

Подставим значения в систему:

Разделим все члены первого уравнения на 6, второго на 3, получим:

Вычтем из второго уравнения соответствующие члены первого уравнения и найдем а₁:

3,62 = 5,83а₁

а₁=0,62

Подставим в первое уравнение значение а₁, найдем а₀:

21,68 = а₀ + 0,50∙0,62 => а₀ = 21,37

Запишем решенное уравнение прямой:

Подставим в формулу значения t и определим выровненные уровни кормления (табл.2.4).

2001 г. t = -2

2002 г. t = -1

2003 г. t = 0

2004 г. t = 1 и т.д.

Решим систему нормальных уравнений для нахождения неизвестных параметров а₀ ,а₁ и а₂ при выравнивании по параболе.

Подставим значения в систему:

Разделим все члены первого уравнения на 6, второго на 3,третьего на 19, получим:

Вычтем из второго уравнения первое и третье:

Разделим все члены первого уравнения на 5,83, второго на 4,91, получим:

Вычтем из второго уравнения соответствующие члены первого и найдем а₂:

0,02 = -0,4а₂ => а₂ = - 0,05

Подставим в первое уравнение значение а₂ и найдем а₁:

0,62 = а₁ – 0,05 => а₁ = 0,67

Найдем а₀, подставив найденные значения а₁ иа₂:

21,68 = а₀ +0,5 ∙ 0,67 + 3,17 ∙ (-0,05) => а₀ = 21,50

Запишем решенное уравнение параболы:

Коэффициент а₀ = 21,50 показывает уровень производства продукции для года, когда t = 0. Коэффициент а₁ = 0,67 показывает ежегодный прирост уровня производства продукции, а коэффициент а₂ = -0,05 показывает ежегодное замедление прироста уровня производства продукции.

Теперь подставим в формулу значения t и определим выравненные уровни производства:

2001 г. t = -2

2002 г. t = -1

2003 г. t = 0

2004 г. t = 1 и т.д.

Фактический и рассчитанный по способу наименьших квадратов уровень производства продукции «А» на предприятии

Год	Фактический уровень производства продукции, тыс. ед.	По прямой линии	По параболе
Уровень производства, тыс.ед.	Отклонение фактического уровня от рассчитанного по уравнению	Уровень производства, тыс.ед.	Отклонение фактического уровня от рассчитанного по уравнению
У
	20,0	20,1	-0,1	0,01	20,1	-0,1	0,01
	20,6	20,8	-0,2	0,04	20,8	-0,2	0,04
	21,8	21,4	0,4	0,16	21,5	0,3	0,09
	21,9	22,0	-0,1	0,01	22,1	-0,2	0,04
	22,8	22,6	0,2	0,04	22,6	0,2	0,04
	23,0	23,2	-0,2	0,04	23,0	0,0	0,00
Итого	130,1	130,1	0,0	0,30	130,1	0,0	0,22

Чтобы выяснить какое уравнение наиболее точно отражает тенденцию, вычислим остаточные средние квадратические отклонения σ_ост.:

-для прямой:

-для параболы:

Остаточное среднее квадратическое отклонение, полученное при выравнивании по параболе, несколько меньше, чем остаточное среднее квадратическое отклонение при выравнивании по уравнению прямой. Но различия незначительны и для выравнивания данного ряда могут использоваться оба уравнения.