Разновидностью марковского процесса с дискретными состояниями S0,S1,S2,…,Sn является процесс гибели и размножения, - если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из промежуточных (средних) состояний (S1,S2,…,Sn-1) может переходить только в соседние (смежные) состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S0иSn) переходят только в соседние состояния (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Граф состояний для процесса гибели и размножения
Название процесса взято из биологических моделей, где состояние популяции Skозначает наличие в популяции k единиц особей. Переход вправо связан с размножением особей, а влево - с их гибелью, то есть, из рис. 4.2:
Примечание. У λ и μ индекс того состояния, из которого стрелка выходит.
Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего процесса гибели и размножения (когда процесс перешел в стационарный режим) определяются по следующим формулам:
Правило: "вероятность k-го состояния в процессе гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее Sk, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее Sk, умноженной на вероятность крайнего левого состояния системы P0".
Для простейшего процесса гибели и размножения (когда он перешел в стационарный режим) в тех случаях, когда интенсивности размножения и гибели постоянны формулы для финальных вероятностей упрощаются
P0=e,-(λ / μ)
Pk= {[(λ/μ)k] / k!} ∙ e -(λ/μ).
Примечание. Данные формулы корректны для случая, когда отсутствует ограничение на k. При наличии ограничения k≤n формулы для финальных вероятностей выглядят следующим образом:
P0=e-α/ [∑αk∙e-(α/k!) ], где α= λ/μ;
Pk=P0∙(α/k!), гдеk= 0, 1, 2,…, n.
В практике встречаются процессы чистого размножения (в них интенсивности всех потоков гибели равны нулю) и процессы чистой гибели (в них интенсивности всех потоков размножения равны нулю).