Метод динамики средних является несколько обособленной версией марковских случайных процессов. Его привлекательность заключена в том, что, зная возможные состояния одного объекта (например, самолета), можно моделировать процесс функционирования системы (группы из любого числа объектов). При этом, процесс функционирования системы представляют как процесс переходов с постоянными интенсивностями λ ij из одного состояния Siв другое (Sj) отдельных элементов, составляющих систему. Кроме того, искомыми являются не вероятности, а среднее число элементов Ci, находящихся в состояниях Si.
Как и для рассмотренных ранее марковских процессов порядок моделирования по методу динамики средних включает следующие этапы:
· построение графической модели моделируемой системы (графа состояний и переходов системы);
· формирование математической модели системы на основе ее графическое модели;
· моделирование (решение системы уравнений относительно искомых показателей).
Рассмотрим подробнее перечисленные этапы.
Графическая модель процесса функционирования системы состоит из двух элементов: окружностей (обозначающих характерные состояния системы); стрелок (обозначающих потоки переходов элементов по состояниям). Пример графической модели системы S представлен на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Графическая модель системы по методу динамики средних
Графическая модель должна быть определена численными значениями следующих начальных исходных данных:
· общим числом элементов в системе C;
· числом возможных состояний системы n;
· начальным числом элементов в каждом состоянии Ci;
· средними интенсивностями переходов элементов системы из одного состояния в другое λ ij.
Очевидно, что для любого момента времени t среднее число элементов в состоянии Si будет равно Ci(t), и что для любого t сумма численностей всех состояний равна общей численности элементов в системе, то есть:
n
C = ∑ Ci(t)= const. (4.1)
i = 1
Математическая модель формируется из графической модели по следующему мнемоническому правилу (формально похожему на правило Колмогорова).
"Математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений. Число уравнений в системе равно числу состояний системы (окружностей). Каждое уравнение описывает «свое» состояние. В левой части каждого уравнения стоит производная среднего числа элементов в данном состоянии по времени, то естьdCi / t. В правой части каждого уравнения стоят компоненты, каждая из которых описывает «свой» переход (стрелку). Компонента имеет знак минус, если стрелка исходит из рассматриваемого состояния и знак плюс, - если стрелка входит в рассматриваемое состояние. Каждая компонента представляет собой произведение интенсивности перехода (по рассматриваемой стрелке) и среднего числа элементов в том состоянии, из которого рассматриваемая стрелка исходит".
В соответствии с мнемоническим правилом для графической модели на рис. 4.3 математическая модель будет иметь следующий вид:
Моделирование процесса функционирования системысводится к решению полученной системы дифференциальных уравнений относительно искомых Ci(t) и к фиксации получаемых результатов с некоторым задаваемым шагом изменения t. В результате этого определяется динамика изменения численностей состояний по времени. Обычно решения получают, используя методы численного интегрирования, например, метод Рунге-Кутта. В графической интерпретации результаты моделирования могут иметь вид, представленный (для рассматриваемого примера) на рис. 4.4.
Примечание. Пошаговые решения выполняются в рамках ограничения (4.1).
Рис. 4.4. Результаты моделирования по методу динамики средних
Из данных на рисунке 4.4 следует, что начиная с некоторого момента времени t стац. процесс функционирования системы переходит в стационарный режим, когда средние численности в состояниях стабилизируются на определенных уровнях.
Если пользователя интересует лишь стационарный (установившийся) режим функционирования системы, то определение средней численности в состояниях может быть выполнено более простым способом. Для этого, положив в системе дифференциальных уравнений, что левые части равны нулю, решим относительно Ci полученную систему алгебраических уравнений: