Метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага. Правило Рунге оценки погрешности

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядкa с m неизвестными функциями

x Î (x₀, X) (7.18)

y₁(x₀) = y_1,0, y₂(x₀) = y_2,0,…, y_m(x₀) = y_m,0 (7.19)

Приведем для задачи (7.18), (7.19) расчетные форму­лы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требу­ется найти систему т функций у₁(х), у₂(х),..., у_m(х), удовлетворяющих в интервале (х₀, X) дифференциаль­ным уравнениям (7.18), а в точке х₀ - начальным усло­виям (7.19). Предположим, что отрезок [х₀, X] разбит на N частей:

x_i = х₀ + ih, h = .

Тогда каждую l-ю функцию у_l(х) можно приближенно вычислять в точках х_{i +1} по формулам Рунге-Кутта

K_l,1 = f_l(x_i, y_1,i, y_2,i,… ,y_m,i), i = 1, 2, ... , m,

K_l,2 = f_l(x_i + , y_1,i + , y_2,i + ,… ,y_m,i + ),

i = 1, 2, ... , m;

K_l,3 = f_l(x_i + , y_1,i + , y_2,i + ,… ,y_m,i + ),

i = 1, 2, ... , m;

K_l,4 = f_l(x_i + h, y_1,i + , y_2,i + ,… ,y_m,i + ),

i = 1, 2, ... , m;

y_l,i+1 = y_l,i + (+ + + ), (7.20)

i = 1, 2, ... , m;

Здесь через у_l,i обозначено приближенное значение функции у_l(х) в точке х_i.

Необходимо обратить внимание на порядок вычислений по фор­мулам (7.20). На каждом шаге сначала вычисляются ко­эффициенты K_l,i в следующем порядке:

и лишь затем приближенные значения функций y_1,i+1, y_2,i+1,…, y_m,i+1.