Методы Рунге-Кутта

Рассмотрим наиболее популярный метод решения за­дачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения прак­тически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго поряд­ка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x_i, можно записать в виде:

y₁ = у(х₀) + у^¢(х₀)(х - х₀) + = y₀ + f(x₀, y₀)h + . (7.8)

Вторую производную у"(х₀) можно выразить через производную функции f(x, у), однако в методе Рунге-Кут­та вместо производной используют разность

,

соответственно подбирая значения параметров , , . Тогда (7.8) можно переписать в виде

y₁ = y₀ + h[bf(x₀, y₀) + αf(x₀ + γh, y₀ + δh)], (7.9)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (7.9) как функцию аргу­мента h, разложим ее по степеням h:

y₁ = y₀ + (α + β)hf(x₀, y₀) + αh²[γ f_x(x₀, y₀) + δf(x₀, y₀)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложе­ние было близко к (7.8). Отсюда следует, что

α + β = 1, αγ = 0,5, αδ = 0,5 f(х₀, y₀).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через па­раметр α, получим

y₁ = y₀ + h[(1 – α) f(x₀, y₀) + αf(x₀ + , y₀ + f(x₀, y₀))],

0 < α £ 1. (7.10)

Теперь, если вместо (х₀, у₀)в (7.10) подставить (х₁, у₁),получим формулу для вычисления у₂– приближенного значения искомой функции в точке х₂.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [х₀, X]на п частей, т. е. с переменным шагом

x₀, x₁, ..., x_n; h_i = x_{i + 1} – x_i, x_n = X. (7.11)

Параметр α выбирают равным 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α = 1:

y_{i + 1} = y_i + h_i f(x_i + , y_i + f(x_i, y_i)), (7.12)

i = 0, 1, ..., n – 1.

и α = 0,5:

y_{i + 1} = y_i + [f(x_i, y_i)+ f(x_i + h_i, y_i + h_if(x_i, y_i))], (7.13)

i = 0, 1, ..., n – 1.

Дадим геометрическую интерпретацию методов Рун­ге-Кутта (7.12), (7.13).

На рис. 7.3 а иллюстрируется формула (7.12). Снача­ла по методу Эйлера вычисляется приближенное значение в точке х_i + h_i/2. В этой точке определяется касатель­ная к интегральной кривой, параллельно которой через точку (x_i, y_i)проводится прямая до точки пересечения с прямой х = x_{i + 1}.Ордината точки пересечения y_{i + 1} при­нимается за приближенное значение искомого реше­ния в точке x_{i + 1}.

Рис. 7.3, б интерпретирует формулу (7.13). Методом Эйлера вычисляется приближенное значение y_i + h_if(х_i, y_i) в точке х_{i + 1}.В этой точке тангенс угла наклона касатель­ной к интегральной кривой равен выражению f(x_i + h_i, y_i + h_if(х_i, y_i)).Через точку (x_i, у_i) проводится прямая, тан­генс угла наклона которой определяется как полусумма угловых коэффициентов касательных, проведенных через точки (x_i, y_i) и (x_{i +1}, y_i + h_if(x_i, у_i)).За приближенное зна­чение искомого решения в точке х_{i +1} принимается орди­ната точки пересечения этой прямой с прямой х = x_i+1.

Отметим, что метод (7.13) совпадает с методом Эйлера-Коши (7.7).

Рис. 7.3

Теорема 7.2. Если правая часть f(х, у)уравнения (7.1) непрерывна и ограничена вместе со своими производными до второго порядка включительно, то решение, получен­ное по формулам (7.12) и (7.13), равномерно сходится к решению задачи (7.1) и (7.2) с погрешностью O(max h_i²).

Приведем наиболее употребительные формулы метода Рунге-Кутта, формулы четвертого порядка точности:

(7.14)