Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ = f(x, у, у', ... , y^(n-1)), x Î (х₀, X), (7.21)

y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y_1,0,…,y^(п-1)(x₀) = y_{п - 1,0}. (7.22)

легко сводится к задаче Коши для системы дифференци­альных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z₀ = y, z₁ = y',..., z_{n - 1} = y^{(n – 1)}. (7.23)

Учитывая (7.23), из уравнения (7.21) получим систе­му дифференциальных уравнений

(7.24)

Начальные условия (7.22) для функций z_l, переписыва­ются в виде

z₀(x₀) = y₀, z₁(x₀) = y_1,0,…,z_n-1(x₀) = y_{п - 1,0}. (7.25)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_l,i+1 = z_l,i + (+ + + ), (7.26)

i = 0, 1, 2, ... , N; l = 0, 1,…, n – 1.

Для вычисления коэффициентов , , , имеем следующие формулы:

K_0,1 = z_1,i,

K_1,1 = z_2,i,

…………

K_n-1,1 = f(x_i, z_0,i, z_1,i,…, z_n-1,i),

K_0,2 = z_1,i + ,

K_1,2 = z_2,i + ,

…………………

K_n-1,2 = f(x_i + , z_0,i + , z_1,i + ,…, z_n-1,i + ),

K_0,3 = z_1,i + ,

K_1,3 = z_2,i + ,

…………………

K_n-1,3 = f(x_i + , z_0,i + , z_1,i + ,…, z_n-1,i + ),

K_0,4 = z_1,i + ,

K_1,4 = z_2,i + ,

K_n-1,4 = f(x_i + , z_0,i + , z_1,i + ,…, z_n-1,i + ).