Метод Эйлера с уточнением

Задача Коши

Дифференциальных уравнений

Численные методы решения обыкновенных

Раздел № 7

Уравнение

F(x, у, у', у", ... , у⁽ⁿ⁾)= 0,

связывающее неизвестную функцию у(х),независимую переменную х и производные у'(x), у"(x),..., у⁽ⁿ⁾(x) неизвестной функции, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок п старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

В задаче Коши для дифференциального уравнения п-го порядкаискомая функция у(х),кроме самого дифференциального уравнения, должна удовлетворять начальным условиям

у(х₀) = α₀, у'(х₀)= α₁, у"(х₀) = α₂,..., у⁽ⁿ^-1)(x₀) = α_n_-1.

Методы решения задач для дифференциальных уравнений можно разбить на три типа: точные, приближенные и численные.

Точныминазывают методы, с помощью которых решение дифференциального уравнения можно выразить через известные функции (элементарные функции или интегралы от элементарных функций). Точные методы решения известны только для некоторых классов дифференциальных уравнений (линейные дифференциальные уравнения, уравнения с разделяющимися переменными и др.).

Приближенными называют методы, в которых решение находят как предел последовательности функций, являющихся элементарными или интегралами от элементарных функций. Например, метод разложения искомой функции в ряд Тейлора является приближенным методом.

Численный метод решения дифференциального уравнения – алгоритм вычисления значений искомого решения у(х) на некотором дискретном множестве значений аргумента х. При этом вычисляемые значения искомого решения у(х) являются приближенными, но могут быть и точными.

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

y'(х) = f(x, у), (7.1)

y(x₀) = y₀ (7.2)

Требуется найти функцию у = у(х), которая удовлетворяет уравнению (7.1) на интервале (х₀, X) и начальному условию (7.2) в точке х₀.

Приведем без доказательства теорему существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема 7.1. Пусть в области R{(x, у), |х - х₀| £ а, |у - у₀| £ b} функция f(x, у) непрерывна. Тогда на некотором отрезке |х - x₀| £ d существует решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условию (7.2).

Если в области R функция f(x, у) удовлетворяет условию Липшица

| f(x, у₁) - f(x, y₂)| £ k | y₁ - у₂|, k > 0, k = const,

то указанное решение единственно.

Произведем разбиение отрезка [х₀, X] на п частей:

x_i = x₀ + ih, . (7.3)

Найдем приближенные значения решения у(х) в точках x_i , i = 1, 2,..., n.

7.2. Метод Эйлера (ломаных)

Рассмотрим уравнение (7.1) в точках x_i, i = 0, 1, ... , n - 1 и заменим производную y'(x_i) разностной формулой

y'(x_i) = (7.4)

Тогда получим рекуррентную формулу метода Эйлера для вычисления приближенных значений у(x_i ₊ ₁):

y_i_{+ 1}= y_i + h f(х_i, у_i), i = 0, 1,..., п - 1. (7.5)

Здесь через y_i обозначены приближенные значения y(x_i), т. е. у_i = у (x_i), i = 1, 2, ... , п.

На рис. 7.1 дана геометрическая иллюстрация метода Эйлера (7.5). Уравнение касательной к графику решения у(х) в точке (х₀, у₀) имеет вид

y = y₀ + f(x₀, y₀)(x – x₀) (7.6)

так как у'(х₀) = f(x₀, y₀). Интегральная кривая у(х) на отрезке [х₀, х₁] заменяется отрезком касательной (7.6), соединяющей точку (х₀, у₀) с точкой (х₁, у₁), где у₁ = у₀ + f(x₀, у₀)(х - х₀) (рис. 7.1). Точка (х₁, у₁) уже не лежит на интегральной кривой у = у(х), удовлетворяющей начальному условию (7.2).

При i = 1 формула (7.5) дает точку (х₂, у₂), которая определяется с помощью касательной у = y₁+ f(x₁, у₁)(х - x₁), проведенной в точке (х₁, у₁) к интегральной кривой у(х),

Рис. 7.1

удовлетворяющей уравнению (7.1) и начальному условию y(x₁) = y₁.

Таким образом, с каждым шагом i метод Эйлера (7.5) дает точки (x_i, y_i), которые, вообще говоря, удаляются от интегральной кривой, соответствующей точному решению задачи Коши (7.1), (7.2). Вместо интегральной кривой метод Эйлера дает ломаную, изображенную на рис. 7.1, поэтому его часто называют методом ломаных.

Формулу (7.5) можно получить и другим способом. Рассмотрим разложение искомого решения у(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

у(х) = у(х₀) + у^¢(х₀)(х - х₀) + + ... .

Ограничившись двумя слагаемыми и учитывая, что y'(х₀) = f(x₀, у₀), при х = х₁ получим (7.5).

Также здесь получен следующий результат – погрешность вычисления значения у₁ есть величина порядка O(h²), а погрешность значения у_п – величина порядка O(h). Из-за большой погрешности метод Эйлера применяется редко.

Для повышения точности метода Эйлера применяют следующий прием. Сначала находят приближенное значение решения по методу Эйлера:

,

а затем уточняют его по формуле

.

Этот метод называется методом Эйлера-Коши, и рекуррентные соотношения для его реализации могут быть записаны в виде

, (7.7)

i = 0, 1, ..., n - 1

Метод Эйлера-Коши имеет погрешность порядка O(h²). Геометрическая иллюстрация метода Эйлера-Коши показана на рис. 7.2. Очередное приближение метода Эйлера-Коши соответствует точке пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на двух звеньях ломаной метода Эйлера.

Метод Эйлера-Коши является одним из частных случаев методов Рунге-Кутта.