Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
Точность получения элементов обратной матрицы оценивается соотношением
А–1 × А = А0 = Е.
Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационнаясхема уточнения элементов обратной матрицы.
Пусть для неособенной матрицы А получено приближенное значение элементов матрицы А–1. Обозначим ее через D0 » A–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:
Fk–1 = E – ADk–1; k =1, 2, 3, …; (2.46)
Dk = Dk–1 (E + Fk–1); k = 1, 2, 3, … . (2.47)
Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D0 достаточно близка к искомой А–1.
В данной итерационной схеме матрица F на каждом шаге как бы оценивает близость матрицы D к А–1.
Схема работает следующим образом.
Сначала по (2.46) при k = 1 находится F0 = E – AD0, затем - произведение D0F0.
По (2.47) при k = 1 находится D1= D0+ D0F0.
Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD1, а по (2.46) при k = 2 вычисляется F1 = E – AD1 и, если наибольший элемент матрицы F1 < e, итерации прекращаются, следовательно, A–1 » D1.
Одной из важных практических задач при исследовании различных свойств математической модели в виде функциональной зависимости y = f(x) является нахождение значений x, при которых эта функция обращается в ноль, т. е. решение уравнения
f(x) = 0. (3.1)
Как правило, точное его решение можно получить только в исключительных случаях, так как оно преимущественно носит нелинейный характер. Нелинейные уравнения делятся на два класса:
1) алгебраические, содержащие только алгебраические выражения;
2) трансцендентные, содержащие помимо алгебраических выражений и другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные.
Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторых конечных соотношений (формул) для простых тригонометрических, логарифмических, показательных и простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство практически значимых уравнений может быть решено только итерационными методами, т. е. методами последовательных приближений (численными методами).
Решение уравнений (3.1) при этом осуществляется в два этапа:
1) определение местоположения, характера нужного нам корня и выбор его начального значения;
2) вычисление корня с заданной точностью e посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма.
На первом этапе сначала определяют, какие корни требуется найти, например, только действительные или только положительные или наименьший корень и т. д. Затем находят отрезки из области определения функции y = f(x), взятой из (3.1), содержащие по одному корню.
Существуют различные подходы к решению данной задачи для обоих видов нелинейных уравнений.
На втором этапе используются итерационные методы, позволяющие с помощью некоторого рекуррентного соотношения
(3.2)
при выбранном начальном приближении к истинному значению корня x* построить последовательность {xn}.
Как правило, всегда стоит задача обеспечения сходимости последовательности (3.2) к истинному значению корня x*. Сходимость достигается посредством выбора различными способами функций j в (3.2), которая зависит от f(x) и в общем случае от номера n последовательности решений. Однако если при нахождении значения xn» xk» x* используется одно предыдущее значение m = 1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m-шаговым, и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.
Расчет по рекуррентной последовательности продолжается до тех пор, пока | xn – xn–1| < e. Тогда последнее xn выбирается в качестве приближенного значения корня (x* » xn).
На практике применяются различные законы j, что обеспечивает многообразие численных итерационных методов для решения нелинейных уравнений.
(3.2)