Для матриц общего вида, являющихся элементом СЛАУ, для вычисления определителей успешно может использоваться метод Гаусса. Прямой ход метода для системы позволяет вычислить
,
так как последовательное исключение элементов величину определителя не изменяет. Здесь аkk – элементы преобразованной матрицы А (прямой ход Гаусса). Знак D зависит от четности или нечетности перестановок строк исходной матрицы при приведении ее к треугольному виду.
Для симметричных матриц
; .
1. По методу Гаусса. Всякая неособенная матрица, для которой , имеет обратную матрицу. Очевидно, что А×А–1 = Е. Запишем это равенство в виде системы n уравнений с n неизвестными:
, (2.38)
где аik – элементы матрицы А; zkj – элементы обратной матрицы А–1; dij – элементы единичной матрицы. При этом dij =
Для нахождения элементов одного столбца обратной матрицы необходимо решить соответствующую линейную систему (2.38) с матрицей А. Так для получения j-го столбца матрицы А–1 (z1j, z2j, …, znj) решается система
(2.39)
Следовательно, для обращения матрицы А нужно n раз решить систему (2.39) при j = . Поскольку матрица А системы не изменяется, то исключение неизвестных выполняется только один раз, а (n – 1) раз при решении (2.39) выполняется только обратный ход с соответствующим изменением ее правой части.
2. Другой подход к определению обратной матрицы А–1:
,
где D – определитель матрицы; Аij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.
3. Обращение матрицы А посредством треугольных матриц. Известно, что всякая обратная матрица, если она существует, по структуре будет такая же, как и исходная, так как
А–1×А = А×А–1 = Е =. (2.40)
Рассмотрим пример обращения матрицы 3-го порядка следующего вида:
А =. (2.41)
Решение. Матрицу А–1 ищем в виде
А–1 =. (2.42)
Перемножив А и А–1 с учетом (2.40), получим t11 = 1; t11 + 2t21 = 0; 2t22 = 1;