Графическое отделение корней

Метод половинного деления

Отделение корней

Отделить корень х^* уравнения f(x) = 0 – значит, указать окрестность точки x^*, не содержащую других корней этого уравнения.

Если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, т. е. если f(a) × f(b) < 0, то внутри этого отрезка существует по крайней мере один корень (рис. 3.1). При этом корень x* будет единственным, если f'(x) сохраняет знак внутри интервала (а, b) (рис. 3.1, а).

На практике отделение корней уравнения f(x) = 0 на отрезке [а, b] и начинается с проверки условия f(a) × f(b) < 0. Если это условие выполнено, то, следовательно, на (a, b) есть корень, и дальнейшая задача состоит в выяснении его единственности или не единственности.

Для отделения корней практически достаточно провести процесс половинного деления, в соответствии с которым отрезок [a, b] делится на 2, 4, 8,… равных частей и последовательно определяются знаки функции в точках деления. При этом если в точках деления х_i, х_i+1 выполнено условие f(х_i) × f(х_i+1) < 0, то на интервале (х_i, х_i+1) имеется корень уравнения f(x) = 0. При определении корней всегда стараются найти интервал (х_i, х_i+1) как можно меньшей длины.

Согласно вышеизложенному, получим следующий алгоритм определения корней уравнения f(x) = 0:

1) находим участки возрастания и убывания функции f(x) с помощью производной f ¢(x), если она существует;

2) составляем таблицу знаков функции f(x) в стационарных точках (или ближайших к ним), а также в граничных точках области определения f(x);

3) определяем интервалы по правилу x_i = a + (i – 1) × (b – a) / m – 1; i = 1, 2, …, m, на которых f(x) имеет противоположные знаки. Внутри таких интервалов содержится только по одному корню. На рис. 3.1, б показаны интервалы монотонности функции (a, c), (c, d), (d, b), на концах которых функция имеет противоположные знаки. Корнями уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b] в данном случае являются точки x₁, x₂ и x₃.

Рис. 3.1

Очевидно, что найти корень уравнения (3.1) означает найти абсциссу точки пересечения графика y = f(x) с прямой у = 0, т. е. с осью абсцисс. При этом если построение y = f(x) затруднительно, то ее представляют в эквивалентном виде:

f₁(x) = f₂(x) (3.3)

с таким расчетом, чтобы графики y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x) строились проще. Абсциссы их точек пересечения и будут корнями уравнения (3.1).

Рассмотрим в качестве примера уравнение x³ – 3x – 0,4 = 0. Согласно (3.3) запишем его как

x³ = 3x + 0,4. (3.4)

Из рис. 3.2 видно, что на отрезке [–3, 3] уравнение (3.4) имеет три корня: с₁ Î [–2, –1]; с₂ Î [–1, 0]; с₃ Î [1, 2].

При графическом отделении корней результат зависит от точности построения графиков уравнений.

Рис. 3.2