Обчислення площ многокутників та об’ємів багатогранників, заданих координатами своїх вершин в прямокутній системі координат, грунтується на використанні скалярного, векторного та мішаного добутків векторів.
Якщо паралелограм заданий у просторі координатами своїх вершин, то для обчислення його площі потрібно знайти координати двох векторів, відповідних суміжним сторонам паралелограма, а потім модуль їх векторного добутку. Аналогічно обчислюється площа трикутника, що дорівнює половині модуля векторного добутку векторів, на яких він побудований як на суміжних сторонах.
Приклад 5.10. Нехай три вершини трикутника задані своїми координатами: А(4, 4, 4), В(1, 2, 3), С(3; - 1, 2). Знайти площу трикутника 
.
Розв’язання. Для визначення площі 
знайдемо координати векторів 
і 
:
Векторний добуток:
Модуль цього векторного добутку дорівнює
.
Отже, 
.
Відповідь: 
(од.кв.)
Для обчислення об’єму паралелепіпеда, що заданий координатами своїх вершин, потрібно знайти координати трьох векторів, відповідних суміжних ребер, а потім обчислити модуль змішаного добутку цих векторів. Через змішаний добуток обчислюється і об’єм довільної трикутної піраміди
S АВС, оскільки він дорівнює 1/6 об’єму паралелепіпеда, побудованого
на ребрах 
, 
і 
. Таким чином, об’єм цієї піраміди дорівнює 
.
Приклад 5.11. Знайти об’єм V піраміди SАВС, що задана координатами своїх вершин: А(2; -1; 1), B(5, 5, 4), С(3; 2; -1), S(4; 1, 3).
Розв’язання. Обчислюємо координати векторів, спрямованих по ребрах піраміди:
і визначаємо об’єм за допомогою змішаного добутку знайдених векторів:
.
Відповідь: 
(од.куб.)
