Найпростіші задачі аналітичної геометрії

Розглянемо деякі задачі аналітичної геометрії, пов'язані з взаємним розташуванням точок на площині або в просторі.
Ділення відрізка в заданому відношенні. Завдання полягає в тому, щоб на даному відрізку знайти точку М, яка ділить відрізок у заданому відношенні:
Для точки М з відрізка вектори і колінеарні і однаково напрямлені (рис. 5.7). Отже, один з них може бути отриманий з іншого множенням на додатне число. Нехай . Число дорівнює відношенню довжин відрізків та , тобто Тому ,
звідки .

Рис. 5.7.

Нехай кінці і відрізка задані своїми координатами в довільній прямокутній системі координат в просторі: ,

. Знайдемо координати точки М в цій системі координат:

і знайдемо, що

Отже, якщо позначити координати точки М через , то
, , (5.1)

Якщо точка М - середина відрізка , то , і тому з (5.1) випливає, що координати М рівні напівсумі відповідних координат початку і кінця відрізка, тобто
, , (5.2)
На площині і координати точки М (х; у), що ділить відрізок у заданому відношенні визначаються через координати точок і кінців цього відрізка за допомогою рівностей
, ,
які для середини відрізка переходять в співвідношення
, .
Приклад 5.9. В вершинах А(4, 4, 4), В(-2; 6, 4), С(-4; 4, 2) трикутника АВС розташовані матеріальні точки рівної маси. Знайти координати центру мас цієї системи точок.

Розв’язання. Центр мас зазначеної системи точок співпадає з точкою М перетину медіан трикутника АВС. Нехай точка N - середина сторони ВС. Тоді її координати рівні напівсумі відповідних координат точок В і С, отже, х = -3, у = 5, z = 3.Медіану AN точка М ділить у відношенні , тому координати центру мас розглянутого трикутника рівні:

, , .

Відповідь: .