Подвійний векторний добуток

Трьом векторам , і можна поставити у відповідність вектор, що дорівнює . Цей вектор називають подвійний векторним добутком векторів , і . Подвійний векторний добуток зустрічається в механіці і фізиці.

Теорема 5.1. Подвійний векторний добуток виражається через лінійну комбінацію двох або трьох своїх множників за формулою:

.

Доведення. Позначимо через різницю лівої і правої частини цієї рів­ності

.

Нам достатньо показати, що .

Припустимо, що вектори і неколінеарні. Тоді їх векторний добуток не дорівнює нульовому вектору і ортогональний ненульовому вектору . Вектори , , утворюють правий ортонормований базис в . У цьому базисі справедливі наступні співвідношення:

, , ,

і тому , .

Крім того, , .

У результаті бачимо, що й у випадку неколінеарних векторів і виконується рівність

.●