Властивості змішаного добутку.

1. Розглянемо три вектори , і , які не лежать на одній площині.

Побудуємо на цих векторах, як на ребрах, що виходить із однієї точки, паралелепіпед. Знайдемо об’єм паралелепіпеда:

де Q – площа основи, а Н – висота. Згідно з означенням векторного добутку двох векторів,

Висота паралелепіпеда Н дорівнює модулю проекції вектора на вектор : , де – одиничний вектор векторного добутку .

Таким чином, Отже, геометрично змішаний добуток трьох векторів і взятий за абсолютною величиною, є об’ємом паралелепіпеда, побудованого на векторах, які перемножуються, як на ребрах, що виходять з однієї точки.

2. Змішаний добуток трьох векторів додатний, якщо розміщення векторів відповідає правій системі координат, і від’ємний, якщо розміщення векторів відповідає лівій системі координат.

Таким чином:

3. Три вектори і , відмінні від нуль-вектора, лежать на одній і тій самій площині, тобто є лінійно залежними, тоді і тільки тоді, коли їхній змішаний добуток дорівнює нулю.

4. Нехай задано три вектори в координатній формі:

Тоді їхній змішаний добуток

Як відомо,

Отже,

Таким чином, змішаний добуток векторів, заданий в координатній формі, дорівнює

Можна записати у вигляді де знак «+» треба брати тоді, колі значення визначника додатне, і знак «–» тоді, коли це значення від’ємне. Якщо вектори , задано координатами їхніх початку і кінця, тобто точками , , , то

Умову компланарності трьох векторів можна записати у вигляді

або

Аналогічно знаходимо умову приналежності чотирьох точок , , тривимірного простору однієї і тій самій площині (рис. 2.6). Дані точки лежать в одній площині, якщо вектори , лежать у тій самій площині, а це буде тоді й тільки тоді, коли або

Розглянемо застосування змішаного добутку векторів до обчислення об’єму трикутної піраміди. Нехай вершини трикутної піраміди (рис. 3.6) лежить у точках , , і .

Рис. 5.6.

Площа трикутника (основи піраміди) позначимо через Q, а її висоту |DO| – через Н. Об’єм піраміди . Знайдемо вектори:

Тоді

а

Таким чином,

Тобто об’єм трикутної піраміди дорівнює 1/6 модуля змішаного добутку векторів, які збігаються з ребрами піраміди, що виходять з однієї і тієї самої вершини:

◄Приклад 5.8. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори

Розв’язання. Обчислимо змішаний добуток векторів і

тобто дані вектори лінійно залежні.

Відповідь: лінійно залежні.