2) не зберігає одиницю – 
;
3) нелінійну – 
;
4) немонотонну – 
;
5) несамодвоїсту – 
.
Визначення 13.16.Повна система ФАЛ, за допомогою якої кожна ФАЛ може бути зображена суперпозицією вихідних функцій, називається базисом.
До базису відносяться системи функцій:
базис 1: І, АБО, НІ 
;
базис 2 (кон’юнктивний базис Буля): І, НІ 
;
базис 3 (диз’юнктивний базис Буля): АБО, НІ 
;
базис 4 (базис Шефера): функція Шефера 
;
базис 5 (базис Веба): функція Веба 
;
базис 6 (базис Жегалкіна): 
Базис 1 надлишковий, базиси 4 і 5 мінімальні (видалення хоча б однієї функції перетворює систему ФАЛ у неповну).
Таким чином, всі названі вище класи функцій мають наступну властивість: кожна ФАЛ, отримана за допомогою операції суперпозиції й підстановки з функцій одного класу, обов'язково буде належати цьому ж класу.
Поліноміальна форма орієнтована на технології тестування цифрових систем з використанням активізації або визначення булевих похідних.
Класи булевих функцій є теоретичною основою трансформування опису цифрової системи в різні аналітичні форми.
Функціональна повнота визначає інваріантність зображення цифрового пристрою за допомогою різних наборів бінарних і унарної операцій.
13.3 Контрольні питання
1. Які існують класи булевих функцій?
2. Як визначається клас функцій, що зберігають нуль?
3. Які функції зберігають константу одиниця?
4. Що таке двоїста функція?
5. Як визначається властивість самодвоїстості?
6. Які двійкові набори є протилежними?
7. Що таке поліном?
8. Що таке поліном Жегалкіна?
9. Як формулюється теорема Жегалкіна?
10. Як визначається поліном першого ступеня?
11. Що таке лінійна функція?
12. Як формулюється властивість монотонності булевої функції?
13. Як визначається клас монотонних функцій?
14. Як виконується перевірка самодвоїстості функції за допомогою таблиці істинності?
15. Як одержати функцію, двоїсту стосовно даної?
16. Скільки існує лінійних функцій від 
змінних?
17. Як визначається функціональна повнота?
18. Яка система функцій називається базисною?
19. Яка теорема визначає критерій функціональної повноти?
20. Як формулюється критерій функціональної повноти?
21. Як виконується перевірка монотонності функції за допомогою гіперкуба?
14 Булеві похідні
Математичний апарат булева диференціального числення використовується в структурно-аналітичних методах синтезу тестів, що перевіряють, для комбінаційних пристроїв. Булеві похідні дозволяють аналітично виразити умови активізації шляхів у схемі.
14.1 Булеві похідні першого порядку
Уводяться в розгляд поняття нульової і одиничної залишкових функцій.
Визначення 14.1. Нульова залишкова функція є функція 
, обчислена при підстановці замість змінної 
нульового значення: 
.
Визначення 14.2. Одинична залишкова функція є функція 
, обчислена при підстановці замість змінної одиничного значення: 
.
Визначення 14.3. Булева похідна першого порядку функції за змінною є сума за модулем дві нульової та одиничної залишкових функцій:
, (14.1)
де 
, 
− одиничні й нульова залишкові функції.
Приклад 14.1. Обчислити всі булеві похідні першого порядку функції від трьох змінних: 
.
Рішення. 1) Булева похідна першого порядку за змінною 
визначається на підставі формули (14.1) і властивостей суми за модулем два:
. (14.2)
2) Похідна за змінною 
:
. (14.3)
3) Похідна за змінною 
:
. (14.4)
14.2 Фізичний зміст булевої похідної першого порядку
Похідна першого порядку булевої функції за змінною визначає умови, при яких ця функція змінює значення при зміні змінної . Фізично це відповідає перемиканню вихідного каналу при перемиканні вхідного.
Приклад 14.2. Визначити фізичний зміст похідних першого порядку (14.2)-(14.4) для функції із приклада 14.1.
Рішення. 1) Похідна першого порядку за змінною :
.
2) Похідна першого порядку за змінною :
3) Похідна першого порядку за змінною :
Рис. 14.1. Схемотехничне зображення функції й активізація сигналів
14.3 Змішана похідна 
-го порядку
Визначення 14.4. Змішана похідна k-го порядку булевої функції 
є вираз вигляду
. (14.5)
Змішана похідна k-го порядку обчислюється застосуванням k раз основного співвідношення для визначення похідної k-го порядку при фіксації змінних 
.
Приклад 14.3.Обчислити всі змішані булеві похідні 2-го порядку для функції .
Розв’язок. Булеві похідні першого порядку розглянутої функції визначені в прикладі 14.1. Застосування до кожної з них диференціювання відповідно до формули (14.5) дає:
, (14.6)
, (14.7)
. (14.8)
Можна показати, що порядок диференціювання при обчисленні змішаних булевих похідних не має значення:
. (14.9)
Приклад 14.4. Переконатися у справедливості формули (14.9) на прикладі обчислення змішаних булевих похідних другого порядку (14.6)-(14.8).
Розв’язок. Слід обчислити змішані булеві похідні при диференціюванні у зворотному порядку:
,
,
.
Приклад 14.5. Обчислити змішану булеву похідну 3-го порядку функції .
Розв’язок. Для обчислення змішаної похідної 3-го порядку слід застосувати диференціювання до результату обчислення однієї зі змішаних похідних другого порядку розглянутої функції у формі (14.6)-(14.8). Наприклад:
. (14.10)
14.4 Булеві похідні k-го порядку
Визначення 14.5.Похідна k-го порядку є сума за модулем два всіх перших похідних, всіх змішаних похідних 2-го, 3-го й т.д. k-го порядків:
(14.11)
Фізичний зміст булевої похідної k-го порядку:похідна k-го порядку від булевої функції за змінними 
визначає умови, при яких ця функція змінює значення при одночасній зміні значень змінних , що відповідає перемиканню вихідного каналу f при будь-якому одночасному перемиканні вхідних каналів .
Для похідних 2-го й 3-го порядків функції від трьох змінних формула (14.11) приймає вигляд:
, (14.12)
(14.13)
Приклад 14.5. Визначити похідну 2-го порядку за змінними , функції , де похідні першого порядку й змішані похідні 2-го порядку визначені раніше в прикладах 14.1, 14.3.
Розв’язок. Відповідно до формули обчислення булевої похідної 2-го порядку (14.12) слід скласти за модулем два вирази, що описують всі похідні 1-го порядку у формі (14.2), (14.3) і змішану похідну 2-го порядку у формі (14.6):
.
Приклад 14.6. Визначити похідну 3-го порядку функції , де похідні першого порядку й всі змішані вже визначені в прикладах 14.1, 14.3, 14.4.
Розв’язок. Відповідно до формули обчислення булевої похідної 3-го порядку (14.13) слід скласти за модулем два всі похідні 1-го порядку у формі (14.2)-(14.4), всі змішані похідні 2-го порядку у формі (14.6)-(14.8), а також змішану похідну 3-го порядку:
. (14.4)
Таким чином, булеві похідні дозволяють аналітично виразити умови активізації шляхів у схемі – зміна стану вхідної лінії, що приводить до зміни стану вихідної.
14.5 Контрольні питання
1. Як визначаються нульова й одинична залишкові функції?
2. Як визначається похідна 1-го порядку булевої функції?
3. Який фізичний зміст має булева похідна 1-го порядку?
4. Як обчислюється змішана похідна булевої функції?
5. Як визначається булева похідна k-го порядку?
6. Яка фізична інтерпретація булевої похідної k-го порядку?
7. Які похідні слід обчислити, щоб визначити булеву похідну 2-го порядку функції 
?
8. Яка аналогія й у чому розходження диференціального числення з булевим диференціальним численням?
15 Мінімізація булевих функцій. Методи Квайна і Квайна-Мак-Класки
