Припустимо, що передача теплоти випромінюванням відбувається між двома плоскими або випуклими тілами із абсолютно чорними поверхнями. Кожна з тіл має рівномірну температуру Т1 та Т2, причому Т1>T2.
Випромінювальна спроможність тіл відповідно дорівнює Е01 и Е02.
Рисунок 3.11. Передача теплоти від площадки dF1 до dF2
Виділимо на поверхнях тіл елементарні площадки dF1 та dF2 і з’ясуємо питання про передачу теплоти від першої площадки до другої. Перш за все, від площадки dF1 енергія попадає на площадку dF2 під тілесним кутом , а від dF2 на площадку dF1 під тілесним кутом . Відповідно маємо dЕо12 та dЕо21 – ефективні енергії. Випромінювання від dF1 спрямоване на dF2 під кутом до нормалі n1, а від dF2 до dF1 під кутом до нормалі n2. Згідно з законом Ламберта, маємо
( 3.20 )
Ео – ефективне випромінювання абсолютно чорної поверхні у всіх напрямках у межах півсфери;
Еon - ефективне випромінювання по нормалі до першої поверхні.
Тоді маємо ефективне випромінювання від поверхні dF1 до поверхні dF2
( 3.21 )
Оскільки тілесний кут вимірюється площею, вирізаною ним в поверхні сфери з одиничним радіусом можна записати
,
де r – радіус півсфери, що оточує площу F1.
У зв’язку з цим запишемо
( 3.22 )
По аналогії
( 3.23)
Отож
( 3.24 )
Кількість теплоти, що віддається площадкою dF1 усьому другому тілу F2 знаходиться інтегруванням
. ( 3.25 )
Вираз
назвемо точковим (локальним) кутовим коефіцієнтом між dF1 та dF2 . Цей коефіцієнт визначає ту долю ефективного випромінювання поверхні dF1 ,яка попадає на F2.
Повторне інтегрування дає повну кількість теплоти, яка надходить від поверхні F1 до поверхні F2
Поначимо як середній кутовий коефіцієнт від поверхні F1 до F2
( 3.26 )
Тоді
( 3.27 )
Аналогічно можна показати, змінюючи порядок інтегрування
.
Таким чином маємо
. ( 3.28 )
Цей вираз називається властивістю взаємності кутових коефіцієнтів.
Нарешті теплообмін між двома абсолютно чорними F1 та F2, довільно орієнтовані у просторі
. ( 3.29 )
