За допомогою закону Стефана-Больцмана можна розрахувати всю сумарну енергію, яку випромінює в одницю часу одиниця поверхні нагрітої поверхні. Закон Ламберта встановлює, яка частина від загального випромінювання проходить у даному напрямку.
Припустимо, що випромінююча площина F має випромінювальну спроможність Е. Розглянемо поняття про густину випромінювання, що представляє собою кількість енергії, що випромінюється одиницею поверхні в одиницю часу у межах одиниці тілесного кута, орієнтованого під деяким кутом до поверхні. Якщо позначити густину випромінювання у напрямку, нормальному до поверхні, через Еn, то для напрямку, що складає кут з нормаллю, густина випромінювання складе
( 3.10 )
Цей вираз називається законом Ламберта або законом косинусів.
Рисунок 3.7. Визначення плоского кута
Стеридіан – одиниця виміру телесного кута. Представляє собою площу, вирізану на сфері телесним кутом, що дорівнює квадрату радіуса сфери. Отож, оскільки площа сфери дорівнює 2, число стерадіанів дорівнює . Плоский кут визначається в радіанах таким чином
або ,
де S – довжина дуги,м; r – радіус сфери.
Аналогічно визначається і телесний кут
або
де F – площа, вирізана на сфері.
Теплообмін між двома паралельними абсолютно чорними
Поверхнями
Вважаємо поверхні нескінченно протяжні так, що випромінювання одної поверхні попадає на другу поверхню. По закону Стефана-Больцмана перша поверхня має таку випромінювальну спроможність (рис.3.8)
Інша поверхня випромінює
Якщо , то енергія переходить від першої поверхні до другої. Результативне випромінювання першої поверхні склада
( 3.11 )
Рисунок 3.8. Дві паралельні абсолютно чорні поверхні
Теплообмін між двома сірими, паралельними поверхнями ( рис.3.8)
Рисунок 3.9. Дві паралельні сірі поверхні
Розглянемо послідовність процесів випромінювання, поглинання та відбиття першою та другою поверхнями.
Перша поверхня випромінює енергію Е1, друга Е2. Е1 попадає на другу поверхню і частково вбирається. Поглинене випромінювання становить А2Е1, відбите (1-А2)Е1. Цей залишок спрямовано на першу поверхню, також частково поглинається А1(1-А2)Е і частково відбивається (1-А1) (1-А2)Е1. Це відбите випромінювання знову спрямовується на другу поверхню, де частково поглинається А2(1-А1)(1-А2)Е1, а решта (1-А2)2( 1-А1)Е знову відправляється на першу поверхню.
Складемо таблицю, в якій зобразимо історію випромінювання Е1.
Таблиця 3.1 – Історія випромінювання Е1
Поверхня 1
| Поверхня 2
|
Вбирання
| Відбиття
| Вбирання
| Відбиття
|
|
| А2Е1
| (1-А2)Е1
|
А1(1-А2)Е1
| (1-А1)(1-А2)Е1
| А2(1-А1)(1-А2)Е1
| (1-А2)2(1-А1)Е1
|
А1(1-А1)2(1-А1)Е1
| (1-А1)2(1-А2)2Е1
| А2(1-А1)2(1-А2)2Е1
| (1-А2)2(1-А1)2Е1
|
Маємо геометричні прогресії, сума яких дорівнює
( 3.11 )
де а1 – перший член прогресії;
q –знаменник прогресії, тобто вираз, на який помножений кожний попередній член прогресії.
У нашому випадку маємо для вбирання першою поверхнею
Тобто у сумі вбирання поверхнею 1 від Е1
( 3.12 )
Для другої поверхні
а енергія , вібрана нею частиною першої поверхні
Тобто вся енергія випромінювання першої поверхні поглинається після багаторазових поглинань та відбиття частково першою, а частково другою поверхнями.
Аналогічно розглянемо історію вбирань та відбиттів другою поверхнею від E2.
Таблиця 3.2 – Історія випромінювання Е2
Поверхня 1
| Поверхня 2
|
Вбирання
| Відбиття
| Вбирання
| Відбиття
|
А1Е2
| (1-А1)Е2
| А2(1-А1)Е2
| (1-А2) (1-А1)Е2
|
А1 (1-А1)(1-А2)Е2
| (1-А1)(1-А2)Е2
| А2(1-А1)2(1-А2)Е2
| (1-А2)2(1-А1)Е2
|
А1(1-А1)2(1-А2)Е2
| (1-А1)2(1-А2)2Е2
| А2(1-А1)3(1-А2)2Е2
| (1-А1)3(1-А2)3Е2
|
і т.д.
Частина енергії Е2, вібрана першою поверхнею
( 3.13 )
Частина енергії Е2, вібрана другою поверхнею
( 3.14 )
Вся енергія Е2 в решті решт після багаторазових вбирань та відбитків становить як сума виразів ( 3.13) та (3.14)
Таким чином перша поверхня випромінює згідно з законом Стефана-Больцмана Е1, Вт/м2. В той же час вона вбирає енергію ( частину випромінювання Е1) та енергію ( частину власного випромінювання Е2), тобто в сумі вбирає . Різниця між власним випромінюванням та вібраним становить дебаланс енергії:
Аналогічно
.
Таким чином
.
Знак мінус показує, що коли енергія для одної пластини приходить, то для іншої виходить.
Розділивши чисельник та знаменник правої частини виразу Е12 на А1А2 отримаємо:
Маючи на увазі закон Кірхгофа, бачимо
Тоді
, ( 3.16 )
де
- приведений коефіцієнт поглинання (приведена міра чорноти).