Методические рекомендации

1. Вектор магнитной индукции – основная характеристика магнитного поля, которую можно найти по формулам (3) – (5), (7), (8).

При заданном распределении токов расчет магнитных полей производят с помощью закона Био-Савара-Лапласа (1), (2) и принципа суперпозиции полей (9). Формулой (9) пользуются в том случае, если воспользоваться соотношениями (3)–(5), (7), (8) нельзя.

Из принципа суперпозиции также следует, что если в какой-то точке магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то вектор результирующего поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности, т. е.

, (11)

где – число проводников с током.

2. Для применения формул (9) и (11) нужно знать направления складываемых векторов . Помните, что вектор всегда нормален к плоскости, в которой расположены векторы и . В случае, если точка, в которой определяется вектор , и проводник с током находятся
в одной плоскости, то векторное сложение заменяется алгебраическим, так как все элементарные векторы направлены вдоль одной прямой.

Если элементарные векторы не направлены вдоль одной прямой, то вектор представляют в виде геометрической суммы его составляющих вдоль осей 0x и 0y:

,

а вектор будет следующий:

3. Теорема о циркуляции вектора магнитного поля позволяет значительно упростить расчеты симметричных магнитных полей. В этом случае через точку, в которой определяется вектор , проводят замкнутый контур так, чтобы он совпадал с магнитной линией поля, для всех точек которого выполняется условие . Тогда формула (6) примет вид:

.

4. При решении задач на расчет магнитных полей, созданных в какой-либо точке пространства одним или несколькими проводниками с током, установите, прежде всего, какой формы проводник с током создал магнитное поле, и выберете формулу, по которой можно определить индукцию поля, созданного данной конфигурацией проводника. Если ни одна из формул не подходит, то выполните чертёж, на котором изобразите проводник с током в выбранной системе координат и выберете элементарный участок , совпадающий по направлению с током, проведите радиус-вектор элемента тока . Укажите на чертеже угол между векторами и воспользуйтесь законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции полей.

5. Направление магнитных силовых линий связано с направлением тока, который они охватывают правилом правого винта:

– если поступательное движение винта направить по направлению тока в проводнике, то направление вращения головки винта покажет направление силовой линии магнитного поля. Вектор направлен по касательной к магнитной линии;

– если направление вращения головки винта совпадает с направлением тока в проводнике, то поступательное движение винта показывает направление вектора магнитной индукции (применяется в случае кругового тока).

6. При определении магнитной индукции поля, созданного несколькими проводниками с током, необходимо показать в точке пространства, где определяется вектор , векторы магнитной индукции полей, созданных каждым проводником с током, после чего сложить эти векторы по правилу векторного сложения.

Для определения модуля вектора применяют теорему Пифагора или теорему косинусов и формулы тригонометрических функций.

Примеры решения задач

Пример 1.Определите индукцию магнитного поля, созданного токами и , текущими по бесконечно длинным проводникам в противоположных направлениях, в точке, отстоящей от проводников на расстояниях и соответственно . Расстояние между проводниками .

Решение Проведем вокруг проводников с током силовые линии и, пользуясь правилом правого винта, определим направление векторов и (рис. 1). По принципу суперпозиции вектор индукции результирующего магнитного поля   . Модуль вектора определяем по теореме косинусов: .

Из треугольника также по теореме косинусов имеем:

.

Индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником с током, определяется по формулам:

.

Следовательно, для индукции получаем

.

Пример 2. Два бесконечно длинных проводника с токами 5 и 8 А расположены в воздухе на расстоянии 1 мдруг от друга. Во сколько раз индукция магнитного поля этих токов в точке А (на расстоянии 20 см слева от первого проводника) меньше индукции полей в точке В (на расстоянии 10 см справа от второго проводника)? Чему равна индукция поля посередине между проводниками?

Решение

Выполним чертёж и покажем на нём направление векторов магнитной индукции полей, созданных в точках 1, 2, 3 токами и . Направление векторов магнитной индукции определяется по правилу правого винта (рис. 2).

Рис. 2

По принципу суперпозиции полей вектора результирующего поля в указанных точках будут равны:

, , . (а)

Учитывая направление векторов , запишем уравнения (а) в скалярном виде:

, , , (б)

где ; ; ; ;

; . (в)

Подставим (в) в (б), получаем:

; ;

. (г)

Подставим в уравнения (г) числовые значения , .

Вычисления дают: , .

Пример 3

Длинный провод с током изогнут под углом . Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3). Расстояние .

Решение Данный проводник можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. По принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля в точке А следующая: , где и индукция магнитных полей, созданных проводниками 1 и 2 в точке А.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что , так как точка А лежит на оси проводника и значит .

Магнитная индукция отрезка проводника

,

где

, так как проводник бесконечно длинный, ,

следовательно ;

– магнитная постоянная;

.

Пример 4

Два кольцевых проводника с токами и расположены в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 4). Радиусы колец одинаковы и равны 5 см. Определить индукцию поля в центре этих колец.

Решение Индукция результирующего магнитного поля в центре кольца определяется по принципу суперпозиции: , где и индукция магнитных полей, созданных круговыми токами и . Направления векторов и определяются по правилу правого винта, так как кольцевые проводники располагаются во взаимно-пер­пен­дикулярных плоскостях, то векторы и взаимно-перпендикулярны. Модуль вектора находится по теореме Пифагора

,

индукции и в центре кругового тока имеют вид:

так как по условию, то

.

Тогда .

Подставим в формулу числовые значения, получаем

^.

Пример 5

По тонкому кольцу, радиусом 30 см, течет ток 220 A. Определить магнитную индукцию на оси кольца в точке А (рис. 5). Угол

Решение Выделим на кольце элемент тока . Он создает в т.А магнитное поле с индукцией . По закону Био-Савара-Лапласа ; модуль вектора определяется соотношением , где – магнитная постоянная, – угол между векторами и , .

Магнитная индукция поля, созданного всем кольцом в т.А, следующая:

.

Вектор представим как векторную сумму:

,

где – оставляющая вектора , перпендикулярная плоскости кольца, – оставляющая вектора , параллельная плоскости кольца

,

в силу симметрии , следовательно, , т. е. вектор направлен вдоль оси кольца.

.

Из чертежа видно, что , тогда , после интегрирования, учитывая, что , получаем

.

Вычисления дают

Пример 6

По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса течет ток плотности (рис. 6). Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника.

В данной задаче использовать закон Био-Савара-Лапласа и его следствия нельзя, так как проводник не является тонким. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора : , где – нормальная составляющая вектора . Рассмотрим две точки: точку А1, расположенную на расстоянии r1 (r1<R) от проводника и точку А2, расположенную на расстоянии r2 > R от оси проводника. Через точки А1 и А2 проведем окружности. В силу симметрии модуль вектора в каждой точке окружности одинаков, поэтому

;

для точки А1: ;

для точки А2: , сумма токов , охватываемых контуром (окружностью), равна: ,откуда определяем:

Пример 7

По тороидальной катушке с числом витков = 1000 течет ток 5 А. Средний диаметр катушки = 40 см, радиус витков = 5 см. Определить напряженность магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на расстояниях, = 5 см, = 20 см, = 23 см.

Решение По теореме о циркуляции вектора . В качестве контуров интегрирования возьмем окружности с центрами в точке О и радиусами . Окружность, проведенная через точку 1, не будет охватывать тока, поэтому , так как , то .

Точка 2 лежит на окружности, радиус которой равен радиусу тороида . Плоскость, охватываемую этим контуром, пересекают витков с током , следовательно,

или .

Аналогично ;

расчет дает: