Тема 5: Вариация признака

Вариация – это различия в значениях какого – либо признака у разных единиц в один и тот же период или момент времени. Это рассеяние вариант вокруг некоторого центра.

Показатели вариации

1. Размах вариации.

L = X_max - X_min

Недостатком этого показателя является то, что он учитывает величину только двух крайних значений, которые зачастую имеют случайный характер.

2. Линейное отклонение – показывает, насколько индивидуальные значения отличаются от среднего значения признака.

Линейных отклонений будет столько, сколько значений X_i. На основе линейных отклонений для общей характеристики вариации рассчитывается среднее линейное отклонение. Т.к. , то линейные отклонения суммируются без учета их знака, по модулю.

l =

для несгруппированных данных: l =

для сгруппированных данных: l =

Недостатком этого показателя является то, что не учитывается направление отклонения.

3. Дисперсия, или средний квадрат отклонений.

для несгруппированных данных: σ ²=

для сгруппированных данных: σ ² =

Общая сумма квадратов отклонений характеризует общий объем вариации –ω_i. Чем выше средний квадрат отклонений (дисперсия), тем выше колеблемость признака в совокупности. В случае отсутствия колеблемости дисперсия равна 0.

4. Среднее квадратическое отклонение.

Определяется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и дает обобщенную характеристику колеблемости признака около среднего уровня.

5. Коэффициент вариации.

Используется для относительной характеристики вариации признаков, а также для сравнения колеблемости разнородных признаков в одной и той же совокупности или колеблемости одного признака в разных совокупностях, имеющих неодинаковый средний размер признака. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Дисперсия альтернативного признака

Если в статистической совокупности признак изменяется таким образом, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной. При альтернативной изменчивости одни объекты совокупности обладают данным признаком, другие не обладают.

p – доля элементов, обладающих данным признаком,

q – доля элементов не обладающих данным признакои.

Обозначим отсутствие признака -0, наличие – 1.

Тогда средняя альтернативного признака: .

То есть, средняя альтернативного признака равна доле элементов обладающих данным признаком .

Дисперсия альтернативного признака: .

То есть, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли элементов, обладающих данным признаком и доли элементов, не обладающих данным признаком

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака .

Теорема сложения дисперсий

Если совокупность расчленена на некоторое число групп, то общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Общая дисперсия отражает различия в результате действия всех существующих факторов,

где - индивидуальные значения результативного признака в совокупности;

- среднее значение результативного признака по совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, связанную с вариацией признака, положенного в основание группировки,

где - средние значения результативного признака в выделенных группах,

- частоты в группах.

Внутригрупповая дисперсия – характеризует вариацию результативного признака, связанную с вариацией всех факторных признаков, кроме признака, по которому построена группировка, находится как средняя арифметическая взвешенная из групповых (частных) дисперсий, ,

где - групповые (частные) дисперсии ,

где - индивидуальные значения в j – ой группе.

Внутригрупповую дисперсию можно вычислить, используя правило сложения дисперсий: .

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Этот показатель называется эмпирический коэффициент детерминации (η²).

Квадратный корень из эмпирического коэффициента детерминации – эмпирическое корреляционное отношение( η).

Если связь отсутствует, то η=0. В данном случае все групповые средние будут равны между собой и межгрупповой вариации не будет.

Когда η=1, связь между признаками функциональная. В этом случае не будет внутригрупповой вариации.

Чем значения корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее связь между признаками.