Планирование экспериментов по исследованию систем методами дисперсионного анализа

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Планирование эксперимента обеспечивает оптимальное исследование разнообразных объектов в смысле:

1) минимизации числа опытов и, следовательно, времени и затрат;

2) реализации специальных планов эксперимента, предусматривающих одновременное варьирование всеми переменными;

3) использование аппарата математической статистики, позволяющего формализовать многие действия экспериментатора и принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Все множество факторов, определяющих работу исследуемого объекта, можно разделить на:

1) контролируемые управляемые переменные , которые в процессе экспериментирования могут изменяться в соответствии с некоторым планом. Будем в дальнейшем считать, что эти переменные взаимно независимы и точность их установки достаточно высока;

2) контролируемые неуправляемые переменные ;

3) неконтролируемые возмущения ;

4) выходные переменные, целевые функции .

Планирование эксперимента применяется при решении следующих типовых исследовательских задач:

1) определение (отсеивание) наиболее значимых факторов;

2) количественная оценка эффектов влияния отдельных факторов и их взаимодействий на целевую функцию;

3) поиск оптимальных условий;

4) построение математической модели исследуемого объекта;

5) уточнение коэффициентов, констант, теоретических моделей, описывающих механизм явлений, и выбор наилучшей модели из ряда конкурирующих.

Целью полного и дробного факторного эксперимента является получение линейной и неполной квадратичной статической модели исследуемого объекта, так называемого уравнения регрессии.

Так, для трехфакторной задачи вид модели (теоретического уравнения регрессии) будет иметь вид:

(9.1)

где — коэффициенты, характеризующие эффекты влияния управляемых переменных на целевую функцию; — коэффициенты, характеризующие эффекты влияния парных взаимодействий переменных и тройного взаимодействия соответственно.

Из-за действия помехи результат измерения y при фиксированных значениях управляемых переменных является случайной величиной, следовательно, по результатам эксперимента мы можем вычислить лишь оценки — истинных генеральных значений коэффициентов . Введя фиктивную переменную и перейдя к переменным z, запишем уравнение (9.1) в виде

(9.2)

Нахождение математической модели вида (9.2) состоит из ряда последовательных этапов.

I. Планирование эксперимента. На этом этапе выбирается экспериментальный план, позволяющий решить поставленную задачу — вычислить наилучшие оценки коэффициентов уравнения (9.2). Экспериментальный план — это некоторая совокупность экспериментов, каждый из которых характеризуется набором фиксированных значений управляемых переменных. В данном случае наилучшим планом является полный факторный эксперимент (ПФЭ), реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций . При планировании эксперимента проводят преобразование независимых переменных в безразмерные переменные:

где — значение управляемой переменной, соответствующее начальному базовому режиму; — шаг варьирования.

Переход к безразмерным переменным значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования и в относительных единицах будут равны соответственно ПФЭ для представлен в таблице.

Таблица — Полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа

N
	+	–	–	–	+	+	+	–
	+	+	–	–	–	–	+	+
	+	–	+	–	–	+	–	+
	+	+	+	–	+	–	–	–
	+	–	–	+	+	–	–	+
	+	+	–	+	–	+	–	–
	+	–	+	+	–	–	+	–
	+	+	+	+	+	+	+	+

II. Проведение эксперимента. С целью усреднения выходной величины y каждая строка экспериментально дублируется несколько раз.

III. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии. Для вычисления оценок используется метод наименьших квадратов (МНК), минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюденных и предсказанных по модели значений выхода:

IV. Статистический анализ полученных результатов. Статистический анализ включает проверку гипотезы о значимости коэффициентов . Проверка гипотезы проводится с помощью критерия Стьюдента. Проверка гипотезы об адекватности представления результатов эксперимента найденным уравнениям регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера.

Планированием эксперимента второго порядка называется такое планирование, которое позволяет получить математическую модель исследуемого объекта в виде полного полинома второго порядка

и аппроксимация ее плоскостью не обеспечивает требуемую точность.

Планы второго порядка отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются на нескольких уровнях, минимум на трех. Экспериментальные планы второго порядка могут быть классифицированы с точки зрения заложенных в них критериев оптимальности. Выбор соответствующего плана решается исследователем до проведения эксперимента.

10 тактическое планирование
машинных экспериментов
с моделями систем

Будем считать, что сформулирована цель (или цели) исследования и пути ее достижения при заданных ограничениях, разработана и опробована модель, имитирующая реальную систему, заданы множества входных и выходных переменных и режимы функционирования модели. Необходимо определить тактику поведения исследовательской группы. Основная же задача эксперимента — получение максимального количества информации при минимальных (или заданных) затратах имеющихся средств — остается прежней.

Проблемы тактического планирования эксперимента с имитационной моделью связаны с сутью статистического моделирования — интересующие исследователя закономерности могут быть получены в результате статистической обработки требуемого числа опытов. Оценки неизвестных параметров и переменных, их взаимосвязей флуктуируют относительно истинных значений и приближаются к ним только в случае достаточно больших выборок. Справедливо положение — чем больше длительность эксперимента, тем меньше флуктуации результатов, а значит, и более точные выводы будут сделаны по опытным данным. Задача исследований заключается в нахождении компромисса между затратами машинного времени, точностью полученных оценок искомых характеристик и степенью доверия к результату. В рамках этого компромисса можно найти способы увеличения точности при том же объеме исследований или некоторые специальные методы обработки данных, позволяющие при той же длине выборочных совокупностей получить большую полезную информацию.

Тактическое планирование машинного эксперимента связано, прежде всего, с решением следующих проблем: определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании; обеспечения точности и достоверности результатов моделирования; уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем; выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями систем.