Лекция № 13. Язык логики предикатов.

Пример 5.

а) Система функционально полна в слабом смысле, так как операция нелинейна (как и конъюнкция), а операция (сложение по ) немонотонна.

б) В функционально полной системе единственная функция – штрих Шеффера – нелинейна и немонотонна.

Для формулировки необходимых и достаточных условий “cильной” полноты (в отличие от слабой) нужно ввести ряд определений, описывающих ещё три замкнутых класса функций.

Определение. Функция называется сохраняющей ноль, если выполняется и сохраняющей единицу, если выполняется .

Оба данных класса функций являются замкнутыми, что проверяется подстановкой констант в суперпозиции. Равным образом замкнутый класс образуют самодвойственные функции (такие, что ).

Теорема 11.6 (вторая – основная – теорема о функциональной полноте). Для того чтобы система функций была функционально полной (в сильном смысле), необходимо и достаточно, чтобы она содержала: 1) нелинейную функцию, 2) немонотонную функцию, 3) функцию, не являющуюся самодвойственной, 4) функцию, не сохраняющую ноль, 5) функцию, не сохраняющую единицу.

1. Предикаты.

Определение.Предикатом называется функция , где произвольное множество, а определённое ранее двоичное множество .

Иначе говоря, местным предикатом, определённым на множестве называется двузначная функция от аргументов из произвольного множества . Множество называется предметной областью предиката, переменные - предметными переменными. В принципе, можно определить предикат как функцию , то есть допустить, что переменные принимают значения из различных множеств – в некоторых случаях это оказывается удобным.

Для любых и существует взаимно однозначное соответствие между местными отношениями и местными предикатами на множестве , определяемое следующим образом. Каждому местному отношению соответствует предикат такой, что тогда и только тогда, когда ; всякий предикат определяет отношение такое, что тогда и только тогда, когда . При этом задаёт область истинности предиката.

Всякой функции можно поставить в соответствие местный предикат такой, что тогда и только тогда, когда . Поскольку функция должна быть однозначной, то это соответствие требует, чтобы для любого выполнялось . Поэтому обратное соответствие (от предиката к функции) возможно только при выполнении указанного условия.

В дальнейшем, в случаях, не вызывающих разночтения, будем употреблять одинаковые обозначения для предикатов и соответствующих им отношений. При этом, помимо функциональных обозначений вида , для двухместных предикатов будем пользоваться обозначениями вида , которые употреблялись ранее для бинарных отношений.